Übung ET2-03.01 – Umrechnung zwischen kartesischer Form und Polarform

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Die sichere Umrechnung zwischen kartesischer Form $\underline{z}=a+jb$ und Polarform $\underline{z}=r\cdot e^{j\phi }$ ist die Grundfertigkeit jeder komplexen Wechselstromrechnung. Üben Sie diesen Schritt mit komplexen Zahlen aus allen vier Quadranten — die häufigste Fehlerquelle ist die fehlende Quadrantenkorrektur beim $\arctan$.

Gegeben sind die folgenden komplexen Zahlen:

$${\underline{z}}_1=4+j3,{\underline{z}}_2=-6+j8,{\underline{z}}_3=-2-j2,{\underline{z}}_4=12\cdot e^{j\cdot 150°}$$

a) Rechnen Sie ${\underline{z}}_1$, ${\underline{z}}_2$ und ${\underline{z}}_3$ in die Polarform um. Achten Sie auf die Quadrantenkorrektur und geben Sie den Phasenwinkel im Bereich $(-180°,+180°]$ an.

b) Skizzieren Sie alle vier Zeiger qualitativ in der Gaußschen Zahlenebene und benennen Sie den jeweiligen Quadranten.

c) Rechnen Sie ${\underline{z}}_4$ in die kartesische Form um.

d) Überprüfen Sie für ${\underline{z}}_2$ rechnerisch, dass $|{\underline{z}}_2|=\sqrt{a^2+b^2}$ unabhängig vom Vorzeichen von $a$ und $b$ gilt.

Lösung

a) ${\underline{z}}_1=5\cdot e^{j\cdot 36,87°}$, ${\underline{z}}_2=10\cdot e^{j\cdot 126,87°}$, ${\underline{z}}_3=2,83\cdot e^{-j\cdot 135°}$
b) ${\underline{z}}_1$ im 1., ${\underline{z}}_2$ im 2., ${\underline{z}}_3$ im 3., ${\underline{z}}_4$ im 2. Quadranten
c) ${\underline{z}}_4=-10,4+j\cdot 6,00$
d) $|{\underline{z}}_2|=\sqrt{(-6{)}^2+8^2}=\sqrt{36+64}=10$ — Vorzeichen entfallen durch Quadrieren.

▶️ Vollständiger Lösungsweg