ET2-PR2-Testat (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-19)

Vortestat zu Praktikum 2 — Frequenzgang: RC-Tiefpass und RLC-Reihenschwingkreis.

◀️ zurück zu den Fragen

---

Lösungswege

1. Effektivwerte und Kirchhoffsche Regeln

a) Warum gilt $U_E=U_R+U_A$ nicht?

Die Kirchhoffschen Gesetze sind Bilanzgleichungen für augenblickliche Größen (ET2-02):

$$u_e(t)=u_R(t)+u_a(t)\text{fu¨r jeden Zeitpunkt }t$$

Effektivwerte sind dagegen quadratische Mittelwerte über eine Periode:

$$U=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{u}^2(t)\mathrm{d}t}$$

In einer RC-Schaltung sind $u_R(t)$ und $u_a(t)=u_C(t)$ um $90°$ phasenverschoben. Die Quadratwurzel über das gemittelte Quadrat addiert sich nicht arithmetisch, sondern geometrisch (Pythagoras):

$$U_E=\sqrt{U_R^2+U_C^2}\ne U_R+U_C$$

b) Welche Größen darf man addieren?

Zwei Alternativen:

• Zeitfunktionen: $u_e(t)=u_R(t)+u_a(t)$ — gilt immer und überall.
• Komplexe Effektivwerte (ET2-03): ${\underline{U}}_E={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_A$ — gilt in der komplexen Wechselstromrechnung, weil die komplexen Zeiger Phaseninformation tragen.

Konsequenz für das Praktikum

Bei der Auswertung in Versuchsteil 1.e) müssen Sie zuerst aus den Effektivwerten und der gemessenen Phasenverschiebung die komplexen Zeiger ${\underline{U}}_e$ und ${\underline{U}}_a$ bilden, dann ${\underline{U}}_R={\underline{U}}_e-{\underline{U}}_a$ berechnen.

2. Blindwiderstand des Kondensators

a) Physikalische Bedeutung von $X_C$

Der Blindwiderstand $X_C$ ist das Verhältnis aus dem Effektivwert der Spannung am Kondensator zum Effektivwert des Stromes (ET2-04 Abschnitt 2):

$$X_C=\frac{U_C}{I}=\frac{1}{\omega C}$$

Er beschreibt den frequenzabhängigen Widerstand, den der Kondensator dem sinusförmigen Strom entgegensetzt. Im Gegensatz zum ohmschen Widerstand wird dabei keine Wirkleistung umgesetzt — die Energie pendelt zwischen elektrischem Feld und Quelle.

b) Zahlenwerte für $C=100\mathrm{nF}=10^{-7}\mathrm{F}$

$$X_C(30\mathrm{Hz})=\frac{1}{2\pi \cdot 30\mathrm{Hz}\cdot 10^{-7}\mathrm{F}}=\frac{1}{1,885\cdot 10^{-5}\mathrm{S}}\approx \underline{53,1\mathrm{k\Omega }}$$ $$X_C(1\mathrm{kHz})=\frac{1}{2\pi \cdot 10^3\mathrm{Hz}\cdot 10^{-7}\mathrm{F}}=\frac{1}{6,283\cdot 10^{-4}\mathrm{S}}\approx \underline{1,59\mathrm{k\Omega }}$$ $$X_C(9\mathrm{kHz})=\frac{1}{2\pi \cdot 9\cdot 10^3\mathrm{Hz}\cdot 10^{-7}\mathrm{F}}=\frac{1}{5,655\cdot 10^{-3}\mathrm{S}}\approx \underline{177\mathrm{\Omega }}$$

c) Qualitatives Verhalten

$X_C$ ist umgekehrt proportional zur Frequenz: $X_C\propto 1/f$. Bei Frequenz Null (Gleichspannung) sperrt der Kondensator komplett ($X_C\to \infty$), bei sehr hohen Frequenzen wird er fast zum Kurzschluss ($X_C\to 0$).

3. Komplexe Impedanz der RC-Reihenschaltung

a) Kartesische Form

Aus $\underline{Z}=R+{\underline{Z}}_C=R-j{X}_C$ folgt — ausgewertet bei der Grenzfrequenz $f_g\approx 1,59\mathrm{kHz}$, wo $X_C=R=1\mathrm{k\Omega }$ gilt (siehe Frage 5):

$$\underline{Z}=R-j{X}_C=(1-j\cdot 1)\mathrm{k\Omega }=\underline{(1,00-j\cdot 1,00)\mathrm{k\Omega }}$$

b) Betrag und Winkel

$$|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X_C^2}=\sqrt{1^2+1^2}\mathrm{k\Omega }=\sqrt{2}\mathrm{k\Omega }\approx \underline{1,41\mathrm{k\Omega }}$$ $${\phi }_Z=\arctan \left(\frac{-X_C}{R}\right)=\arctan (-1)=\underline{-45°}$$

c) Polarform

$$\underline{Z}=|\underline{Z}|\cdot e^{j{\phi }_Z}\approx \underline{1,41\mathrm{k\Omega }\cdot e^{-j45°}}$$

Geometrische Anschauung

Der Impedanzzeiger liegt im vierten Quadranten der komplexen Ebene (positiver Realteil, negativer Imaginärteil). Der Winkel $-45°$ ist charakteristisch dafür, dass $R$ und $X_C$ gleich groß sind — genau die Bedingung an der Grenzfrequenz (Frage 5).

4. Phasenlage in der RC-Reihenschaltung

a) Vorzeichen von ${\phi }_Z$

Der Realteil $\mathrm{Re}\{\underline{Z}\}=R>0$ ist positiv, der Imaginärteil $\mathrm{Im}\{\underline{Z}\}=-X_C<0$ ist negativ. Der Impedanzzeiger liegt damit im vierten Quadranten der komplexen Ebene:

$${\phi }_Z=\arctan \left(\frac{-X_C}{R}\right)\in (-90°,0°)$$

Das Vorzeichen von ${\phi }_Z$ ist negativ. Wie nah ${\phi }_Z$ an $0°$ oder $-90°$ liegt, hängt vom Verhältnis $X_C/R$ und damit von der Frequenz ab.

b) Phasenverschiebung zwischen ${\underline{U}}_e$ und $\underline{I}$

Aus dem ohmschen Gesetz in komplexer Schreibweise:

$$\underline{I}=\frac{{\underline{U}}_e}{\underline{Z}}=\frac{|{\underline{U}}_e|}{|\underline{Z}|}\cdot e^{j({\phi }_{U_e}-{\phi }_Z)}$$

folgt für die Phasendifferenz zwischen Strom und Eingangsspannung:

$${\phi }_I-{\phi }_{U_e}=-{\phi }_Z>0$$

Der Strom eilt der Eingangsspannung vor, mit einem Phasenwinkel zwischen $0°$ und $+90°$.

Anschauliche Merkregel

An der idealen Spule eilt die Spannung dem Strom vor (“L — Spannung vor, Strom nach”). Am Kondensator ist es umgekehrt: Strom eilt vor, Spannung nach. In einer RC-Reihenschaltung liegt der Phasenwinkel zwischen diesen Extremen — je niedriger die Frequenz, desto näher an den vollen $+90°$ einer rein kapazitiven Schaltung.

5. Grenzfrequenz

a) Definition

Die Grenzfrequenz $f_g$ ist die Frequenz, bei der der Amplitudengang auf $1/\sqrt{2}$ seines Maximalwertes abgesunken ist:

$$|\underline{F}({\omega }_g)|=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$$

Äquivalent: An $f_g$ ist die Spannung am Widerstand betragsmäßig genauso groß wie am Kondensator — die Spannung teilt sich symmetrisch auf:

$$U_R(f_g)=U_C(f_g)$$

b) Herleitung aus $X_C=R$

Aus $U_R=R\cdot I$ und $U_C=X_C\cdot I$ folgt $U_R=U_C\iff X_C=R$. Einsetzen:

$$\frac{1}{{\omega }_{g}C}=R\Rightarrow {\omega }_g=\frac{1}{RC}\Rightarrow \underline{f_g=\frac{1}{2\pi RC}}$$

c) Zahlenwert

$$f_g=\frac{1}{2\pi \cdot 1\mathrm{k\Omega }\cdot 100\mathrm{nF}}=\frac{1}{2\pi \cdot 10^3\cdot 10^{-7}\mathrm{s}}=\frac{1}{6,283\cdot 10^{-4}\mathrm{s}}\approx \underline{1,59\mathrm{kHz}}$$

6. Dezibel-Skala beim Tiefpass

a) $A=-3\mathrm{dB}$

$$-3=20\cdot \log \left(\frac{U_A}{U_E}\right)\Rightarrow \frac{U_A}{U_E}=10^{-3/20}=10^{-0,15}\approx \underline{0,708}$$

Das entspricht näherungsweise $1/\sqrt{2}\approx 0,7071$ — also der Definition der Grenzfrequenz (exakt wären es $-3,01\mathrm{dB}$). $A=-3\mathrm{dB}$ tritt also bei $f\approx f_g$ auf.

b) $A=-20\mathrm{dB}$

$$-20=20\cdot \log \left(\frac{U_A}{U_E}\right)\Rightarrow \frac{U_A}{U_E}=10^{-1}=0,1$$

Aus $|\underline{F}(\omega )|=1/\sqrt{(R\omega C{)}^2+1}=0,1$ folgt $(R\omega C{)}^2+1=100$, also $R\omega C=\sqrt{99}\approx 9,95$. Mit $R{\omega }_{g}C=1$ ergibt sich:

$$\frac{f}{f_g}=R\omega C\approx 9,95\approx 10\Rightarrow \underline{f\approx 10\cdot f_g}$$

$A=-20\mathrm{dB}$ liegt eine Dekade über der Grenzfrequenz.

c) Steigung der Asymptote

Pro Frequenz-Dekade fällt der Amplitudengang weit oberhalb $f_g$ um $\underline{-20dB/Dekade}$ ab (entspricht $-6dB/Oktave$). Das ist die charakteristische Steigung eines Tiefpasses erster Ordnung.

7. Blindwiderstand der Induktivität

a) Zahlenwerte für $L=80\mathrm{mH}=8\cdot 10^{-2}\mathrm{H}$

$$X_L(100\mathrm{Hz})=2\pi \cdot 100\cdot 0,08Vs/A\approx \underline{50,3\mathrm{\Omega }}$$ $$X_L(1\mathrm{kHz})=2\pi \cdot 10^3\cdot 0,08Vs/A\approx \underline{503\mathrm{\Omega }}$$ $$X_L(9\mathrm{kHz})=2\pi \cdot 9\cdot 10^3\cdot 0,08Vs/A\approx \underline{4,52\mathrm{k\Omega }}$$

b) Qualitatives Verhalten

$X_L$ ist direkt proportional zur Frequenz: $X_L=\omega L\propto f$. Bei Gleichstrom wirkt die ideale Spule als Kurzschluss ($X_L=0$), bei sehr hohen Frequenzen sperrt sie zunehmend.

c) Phasenwinkel an der idealen Spule

An der idealen Induktivität eilt die Spannung dem Strom um $\underline{+90°}$ vor — genau entgegengesetzt zum Kondensator. Anschauliche Merkregel: „L — Spannung vor, Strom nach.”

8. Resonanz im RLC-Reihenschwingkreis

a) Resonanzbedingung

Der Imaginärteil der Gesamtimpedanz verschwindet:

$$\mathrm{Im}\{{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}\}=X_L-X_C=0\Rightarrow X_L=X_C$$

b) Zahlenwert

Aus ${\omega }_{\mathrm{res}}L=1/({\omega }_{\mathrm{res}}C)$ folgt ${\omega }_{\mathrm{res}}=1/\sqrt{LC}$ und damit:

$$f_{\mathrm{res}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{0,05\cdot 220\cdot 10^{-9}}\mathrm{s}}=\frac{1}{2\pi \sqrt{1,10\cdot 10^{-8}}\mathrm{s}}$$ $$f_{\mathrm{res}}\approx \frac{1}{2\pi \cdot 1,049\cdot 10^{-4}\mathrm{s}}\approx \underline{1,52\mathrm{kHz}}$$

Hinweis

Die im Praktikum verwendete Induktivität hat $L=80\mathrm{mH}$, die tatsächliche Resonanzfrequenz Ihres Versuchsaufbaus weicht daher vom hier berechneten Wert ab. Die Methode bleibt aber identisch — Sie wenden sie in 3.2.c auf die echten Bauteilwerte an.

c) Strommaximum

Bei $f_{\mathrm{res}}$ heben sich induktiver und kapazitiver Blindwiderstand auf:

$${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}(f_{\mathrm{res}})=R+j\cdot (X_L-X_C)=R$$

Die Gesamtimpedanz wird rein ohmsch und minimal. Aus dem ohmschen Gesetz folgt der maximale Strom:

$$I_{\max }=\frac{U_E}{R}$$

Bei jeder anderen Frequenz vergrößert der Imaginärteil den Betrag der Impedanz, der Strom wird kleiner.

9. Spannungsüberhöhung, Güte und Sicherheitshinweis

a) Begründung der Überhöhung

Die komplexe Maschenregel gilt selbstverständlich auch bei Resonanz:

$${\underline{U}}_E={\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L+{\underline{U}}_C$$

Bei Resonanz sind ${\underline{U}}_L$ und ${\underline{U}}_C$ exakt um $180°$ phasenverschoben (Spule eilt $+90°$ vor, Kondensator $-90°$ nach). Ihre komplexen Zeiger heben sich vollständig auf:

$${\underline{U}}_L+{\underline{U}}_C=0\Rightarrow {\underline{U}}_E={\underline{U}}_R$$

Die Effektivwerte der beiden Einzelspannungen können jedoch jeder für sich beliebig groß sein, solange ihre Zeiger sich gegenseitig kompensieren.

b) Herleitung $U_L=Q\cdot U_E$

Bei Resonanz wird der Strom maximal:

$$I_{\mathrm{res}}=\frac{U_E}{R}$$

Die Spannung an der Spule ergibt sich zu:

$$U_L=X_L(f_{\mathrm{res}})\cdot I_{\mathrm{res}}={\omega }_{\mathrm{res}}L\cdot \frac{U_E}{R}$$

Mit ${\omega }_{\mathrm{res}}=1/\sqrt{LC}$ folgt ${\omega }_{\mathrm{res}}L=L/\sqrt{LC}=\sqrt{L/C}$, also:

$$U_L=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}\cdot U_E=Q\cdot U_E$$

mit der Resonanzgüte des Reihenschwingkreises:

$$\underline{Q=\frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}}$$

Wegen $X_L(f_{\mathrm{res}})=X_C(f_{\mathrm{res}})$ gilt analog $U_C=Q\cdot U_E$.

c) Zahlenwerte für das Praktikum

Mit $L=80\mathrm{mH}$, $C=100\mathrm{nF}$ ergibt sich (Einheit $\sqrt{H/F}=\sqrt{{\Omega }^2}=\Omega$):

$$\sqrt{L/C}=\sqrt{\frac{0,08\mathrm{H}}{10^{-7}\mathrm{F}}}=\sqrt{8\cdot 10^5}\mathrm{\Omega }\approx 894\mathrm{\Omega }$$

Fall $R_X=1\mathrm{k\Omega }$:

$$Q=\frac{894}{1000}\approx \underline{0,894}$$ $$U_C=Q\cdot U_E\approx 0,894\cdot 2,47\mathrm{V}\approx \underline{2,21\mathrm{V}}$$

→ $U_C$ liegt unter $U_E$. Keine ausgeprägte Spannungsüberhöhung — der Schwingkreis ist stark bedämpft.

Fall $R_X=100\mathrm{\Omega }$:

$$Q=\frac{894}{100}\approx \underline{8,94}$$ $$U_C=Q\cdot U_E\approx 8,94\cdot 2,47\mathrm{V}\approx \underline{22,1\mathrm{V}}$$

→ $U_C$ ist fast eine Größenordnung größer als $U_E$. Deutliche Spannungsüberhöhung.

Was lerne ich daraus?

Der unbekannte Widerstand $R_X$ entscheidet darüber, wie ausgeprägt die Resonanzüberhöhung im konkreten Praktikumsversuch ausfällt. Erst wenn Sie $R_X$ im Versuchsteil 1.c) gemessen haben, können Sie das tatsächliche $Q$ berechnen.

d) Konsequenz für das Praktikum

Die Eingangsspannung darf am Funktionsgenerator nicht über die in der Anleitung vorgegebenen $U_{\mathrm{SS}}=7\mathrm{V}$ hinaus erhöht werden. Hintergrund: Selbst wenn die Überhöhung bei großem $R_X$ moderat ist, gilt im Worst-Case-Denken — bei kleinem $R_X$ und entsprechender Güte können entstehen:

• Überschreiten der Spannungsfestigkeit des Kondensators (typische Folienkondensatoren: 63–100 V)
• Beschädigung des Oszilloskop-Tastkopfes oder Multimeters durch Überspannung
• Funkenüberschlag an offenen Steckboard-Verbindungen

Konkret für PR2

Halten Sie $U_{\mathrm{SS}}=7\mathrm{V}$ exakt ein. Messen Sie bei Resonanz die Spannungen $U_L$ und $U_C$ aufmerksam — wenn diese deutlich höher als erwartet sind, sofort den Betreuer informieren.

---

Vorbereitung abschließen

Wenn Sie alle neun Fragen ohne Blick in die Lösung beantworten können, sind Sie für das Praktikum theoretisch gut vorbereitet. Lesen Sie ergänzend die Abschnitte 2.1–2.5 der Praktikumsanleitung sowie das Begleitdokument auf ILIAS zu den Messgeräten DG1022Z, SDM3045X und UT61D.

◀️ zurück zu den Fragen