Übung ET1-05.R1 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-07)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Eine dekorative LED-Beleuchtung besteht aus zwei parallelen Strängen, die jeweils drei identische LEDs in Reihe enthalten. Jede LED hat eine Flussspannung von $U_{\mathrm{F}}=2,0\mathrm{V}$ und einen differentiellen Widerstand von $R_{\mathrm{LED}}=5\Omega$ im Arbeitspunkt.

Die gesamte Anordnung wird über einen gemeinsamen Vorwiderstand $R_{\mathrm{V}}$ an einer Gleichspannungsquelle von $U_0=12\mathrm{V}$ betrieben. Der Strom durch jeden LED-Strang soll $I_{\mathrm{Strang}}=20\mathrm{mA}$ betragen.

a) Skizzieren Sie die Schaltung und berechnen Sie den Ersatzwiderstand eines LED-Stranges.

b) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der gesamten LED-Anordnung (beide Stränge parallel), inklusive des LED-Widerstandes am Arbeitspunkt.

c) Berechnen Sie den erforderlichen Vorwiderstand $R_{\mathrm{V}}$ und wählen Sie einen geeigneten Wert aus der E12-Reihe aus.

d) Welche Leistung wird im ausgewählten Vorwiderstand umgesetzt?

Lösung

a) $R_{\mathrm{Strang}}=15\Omega$
b) $R_{\mathrm{LED},\mathrm{ges}}=7,5\Omega$
c) $R_{\mathrm{V}}=142,5\Omega$ (Normwert: $150\Omega$)
d) $P_{\mathrm{V}}=240\mathrm{mW}$

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Versorgungsspannung: $U_0=12\mathrm{V}$
• Flussspannung pro LED: $U_{\mathrm{F}}=2,0\mathrm{V}$
• Differentieller Widerstand pro LED: $R_{\mathrm{LED}}=5\Omega$
• Anzahl LEDs pro Strang: $n=3$
• Anzahl paralleler Stränge: $m=2$
• Sollstrom pro Strang: $I_{\mathrm{Strang}}=20\mathrm{mA}$

Bekannt:

• Reihenschaltung: $R_{\mathrm{ges}}=\sum R_i$
• Parallelschaltung (zwei gleiche Widerstände): $R_{\mathrm{ges}}=\frac{R}{2}$
• Spannungsteiler: $U_R=U_{\mathrm{ges}}\cdot \frac{R}{R_{\mathrm{ges}}}$
• Leistung: $P=I^2\cdot R$

Dabei ist:

• $R_{\mathrm{Strang}}$ der Ersatzwiderstand eines LED-Stranges in Ohm ($\Omega$)
• $R_{\mathrm{LED},\mathrm{ges}}$ der Ersatzwiderstand der gesamten LED-Anordnung in Ohm ($\Omega$)
• $R_{\mathrm{V}}$ der Vorwiderstand in Ohm ($\Omega$)
• $P_{\mathrm{V}}$ die Verlustleistung im Vorwiderstand in Watt ($\mathrm{W}$)
• $I_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)

Gesucht

a) Ersatzwiderstand eines LED-Stranges $R_{\mathrm{Strang}}$
b) Ersatzwiderstand der LED-Anordnung $R_{\mathrm{LED},\mathrm{ges}}$
c) Vorwiderstand $R_{\mathrm{V}}$
d) Verlustleistung $P_{\mathrm{V}}$

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a) Ersatzwiderstand eines LED-Stranges

Schaltungsskizze:

Ein LED-Strang enthält drei LEDs in Reihe. Der Ersatzwiderstand der Reihenschaltung:

$$R_{\mathrm{Strang}}=n\cdot R_{\mathrm{LED}}=3\cdot 5\Omega =\underline{15\Omega }$$

b) Ersatzwiderstand der LED-Anordnung

Beide Stränge sind identisch und liegen parallel. Für zwei gleiche Widerstände gilt:

$$R_{\mathrm{LED},\mathrm{ges}}=\frac{R_{\mathrm{Strang}}}{2}=\frac{15\Omega }{2}=\underline{7,5\Omega }$$

Kontrolle über die allgemeine Formel:

$R_{\mathrm{LED},\mathrm{ges}}=\frac{R_{\mathrm{Strang}}\cdot R_{\mathrm{Strang}}}{R_{\mathrm{Strang}}+R_{\mathrm{Strang}}}=\frac{15\Omega \cdot 15\Omega }{30\Omega }=7,5\Omega$ ✔

c) Vorwiderstand

Der Gesamtstrom durch den Vorwiderstand ist die Summe der Strangströme:

$$I_{\mathrm{ges}}=m\cdot I_{\mathrm{Strang}}=2\cdot 20\mathrm{mA}=40\mathrm{mA}$$

Für die präzise Berechnung des Vorwiderstandes muss die gesamte Spannung über einem LED-Strang berücksichtigt werden – also Flussspannung plus Spannungsabfall am differentiellen Widerstand:

$$U_{\mathrm{Strang}}=U_{\mathrm{F},\mathrm{Strang}}+I_{\mathrm{Strang}}\cdot R_{\mathrm{Strang}}$$ $$U_{\mathrm{Strang}}=6,0\mathrm{V}+20\mathrm{mA}\cdot 15\Omega =6,0\mathrm{V}+0,3\mathrm{V}=6,3\mathrm{V}$$

Die Spannung, die am Vorwiderstand abfallen muss:

$$U_{\mathrm{V}}=U_0-U_{\mathrm{Strang}}=12\mathrm{V}-6,3\mathrm{V}=5,7\mathrm{V}$$

Der erforderliche Vorwiderstand nach dem Ohmschen Gesetz:

$$R_{\mathrm{V}}=\frac{U_{\mathrm{V}}}{I_{\mathrm{ges}}}=\frac{5,7\mathrm{V}}{40\mathrm{mA}}=\frac{5,7\mathrm{V}}{0,040\mathrm{A}}=\underline{142,5\Omega }$$

Aus der Normreihe E12 wählt man den nächsthöheren Wert: $R_{\mathrm{V}}=150\Omega$.

Kontrolle der Spannungsbilanz (Maschenregel):

$U_0=U_{\mathrm{V}}+U_{\mathrm{Strang}}=5,7\mathrm{V}+6,3\mathrm{V}=12,0\mathrm{V}$ ✔

Vergleich mit vereinfachter Rechnung

In der Praxis wird der Vorwiderstand oft nur mit der Flussspannung berechnet, ohne den differentiellen Widerstand zu berücksichtigen:

$$U_{\mathrm{V},\mathrm{vereinfacht}}=U_0-U_{\mathrm{F},\mathrm{Strang}}=12\mathrm{V}-6,0\mathrm{V}=6,0\mathrm{V}$$ $$R_{\mathrm{V},\mathrm{vereinfacht}}=\frac{6,0\mathrm{V}}{40\mathrm{mA}}=150\Omega$$

Warum ist das ungenau? Die vereinfachte Rechnung ignoriert, dass bei fließendem Strom zusätzlich zur Flussspannung auch am differentiellen Widerstand der LEDs eine Spannung abfällt ($0,3\mathrm{V}$ in diesem Beispiel). Dadurch steht für den Vorwiderstand weniger Spannung zur Verfügung als angenommen.

Auswirkung: Die vereinfachte Methode ergibt einen um $5,3\%$ zu großen Vorwiderstand. Durch die E-Reihen ist man aber ohnehin in der Praxis auf bestimmte Werte limitiert. In der Folge führt das zu einem etwas geringeren LED-Strom als geplant – bei LEDs meist unkritisch, da die Helligkeit nur geringfügig abnimmt.

d) Verlustleistung im Vorwiderstand

Die Verlustleistung im Vorwiderstand (mit dem gewählten Wert $R_{\mathrm{V}}=150\Omega$):

$$P_{\mathrm{V}}=I_{\mathrm{ges}}^2\cdot R_{\mathrm{V}}=(40\mathrm{mA}{)}^2\cdot 150\Omega =(0,040\mathrm{A}{)}^2\cdot 150\Omega$$ $$P_{\mathrm{V}}=0,0016{\mathrm{A}}^2\cdot 150\Omega =\underline{0,240\mathrm{W}=240\mathrm{mW}}$$

Bauteilauswahl

Eine Verlustleistung von $240\mathrm{mW}$ erfordert einen Widerstand mit mindestens $0,25\mathrm{W}$ Belastbarkeit. Übliche Widerstände der Bauform 0805 (SMD) oder 1/4-Watt-Widerstände (bedrahtet) sind geeignet. Für ausreichende Sicherheitsreserve empfiehlt sich ein 0,5-W-Typ.