Übung ET2-06.05 – Komplexe Scheinleistung an einer RL-Reihenschaltung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-06 Leistung im Wechselstromkreis

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Aufgabe

An einer RL-Reihenschaltung liegt die komplexe Spannung $\underline{U}=230\mathrm{V}\angle 0°$ bei der Frequenz $f=50\mathrm{Hz}$ an. Die Bauelemente haben die Werte $R=30\Omega$ und $L=80\mathrm{mH}$.

Gegeben: $\underline{U}=230\mathrm{V}\angle 0°$, $R=30\Omega$, $L=80\mathrm{mH}$, $f=50\mathrm{Hz}$

a) Berechnen Sie die komplexe Gesamtimpedanz $\underline{Z}$ in kartesischer Form sowie den komplexen Strom $\underline{I}$ — kartesisch und in Polarform.

b) Berechnen Sie die komplexe Scheinleistung mit der Formel $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$ aus Abschnitt 5 der Lektion. Lesen Sie daraus $P$, $Q$ und $S$ ab.

c) Verifizieren Sie das Ergebnis durch direkte Berechnung der Leistungen an den einzelnen Bauelementen: $P_R=I^2\cdot R$ und $Q_L=I^2\cdot X_L$. Beide Wege müssen denselben Wert liefern.

d) Welchen Leistungsfaktor $\cos \phi$ hat die Schaltung? Verhält sie sich induktiv oder kapazitiv?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $\underline{U}=230\mathrm{V}\angle 0°$ (rein reell, Bezugszeiger)
• $R=30\Omega$
• $L=80\mathrm{mH}=0,08\mathrm{H}$
• $f=50\mathrm{Hz}$, also $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$

Bekannt:

• Reihenimpedanz (ET2-05 Abschnitt 1.1): $\underline{Z}=R+j\omega L$
• Komplexes Ohmsches Gesetz: $\underline{I}=\underline{U}/\underline{Z}$
• Komplexe Scheinleistung (ET2-06 Abschnitt 5): $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$, mit $P=\mathrm{Re}\{\underline{S}\}$, $Q=\mathrm{Im}\{\underline{S}\}$, $S=|\underline{S}|$
• Leistung an Bauelementen (ET2-06 Abschnitt 3): $P_R=I^{2}R$, $Q_L=I^2{X}_L$

Gesucht

a) $\underline{Z}$ kartesisch, $\underline{I}$ kartesisch und polar
b) $\underline{S}$, $P$, $Q$, $S$
c) Probe über $P_R=I^{2}R$, $Q_L=I^2{X}_L$
d) $\cos \phi$ und Charakter der Schaltung

a) Impedanz und Strom

Induktiver Blindwiderstand:

$$X_L=\omega L=314,16{\mathrm{s}}^{-1}\cdot 0,08\mathrm{H}\approx 25,13\Omega$$

Komplexe Gesamtimpedanz:

$$\underline{Z}=R+j\omega L=\underline{(30+j25,13)\Omega }$$

Betrag und Phase (für später nützlich):

$$|\underline{Z}|=\sqrt{30^2+25,13^2}\Omega =\sqrt{1531,5}\Omega \approx 39,13\Omega$$ $${\phi }_Z=\arctan \left(\frac{25,13}{30}\right)\approx 39,96°$$

Komplexer Strom über das komplexe Ohmsche Gesetz. Wir erweitern mit dem konjugiert Komplexen, um auf eine kartesische Form zu kommen:

$$\underline{I}=\frac{\underline{U}}{\underline{Z}}=\frac{230\mathrm{V}}{30+j25,13\Omega }=\frac{230\cdot (30-j25,13)}{30^2+25,13^2}\mathrm{A}$$ $$\underline{I}=\frac{6900-j5780}{1531,5}\mathrm{A}=\underline{(4,50-j3,77)\mathrm{A}}$$

In Polarform:

$$|\underline{I}|=\sqrt{4,50^2+3,77^2}\mathrm{A}\approx 5,88\mathrm{A},\arg (\underline{I})=\arctan \left(\frac{-3,77}{4,50}\right)\approx -39,96°$$ $$\underline{I}=\underline{5,88\mathrm{A}\angle -39,96°}$$

Der Strom eilt der Spannung also um knapp $40°$ nach — wie erwartet bei induktivem Verhalten.

b) Komplexe Scheinleistung

Konjugiert komplexer Strom (Vorzeichen des Imaginärteils umkehren):

$${\underline{I}}^{\ast }=(4,50+j3,77)\mathrm{A}$$

Komplexe Scheinleistung:

$$\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }=230\mathrm{V}\cdot (4,50+j3,77)\mathrm{A}=\underline{(1036+j868)\mathrm{VA}}$$

Daraus lesen wir direkt ab:

$$P=\mathrm{Re}\{\underline{S}\}=1036\mathrm{W}\approx \underline{1,04\mathrm{kW}}$$ $$Q=\mathrm{Im}\{\underline{S}\}=\underline{+868\mathrm{var}}(\text{induktiv, da }Q>0)$$ $$S=|\underline{S}|=\sqrt{1036^2+868^2}\mathrm{VA}=\sqrt{1,827\cdot 10^6}\mathrm{VA}\approx \underline{1352\mathrm{VA}\approx 1,35\mathrm{kVA}}$$

Plausibilitätscheck

Die Scheinleistung muss auch über das Produkt der Effektivwert-Beträge herauskommen: $S=U\cdot |\underline{I}|=230\mathrm{V}\cdot 5,88\mathrm{A}\approx 1352\mathrm{VA}$ ✓ — exakt derselbe Wert.

c) Probe über die Bauelemente

Wirkleistung wird nur im Widerstand umgesetzt, Blindleistung nur in der Spule. Mit $I=|\underline{I}|\approx 5,88\mathrm{A}$, also $I^2\approx 34,57{\mathrm{A}}^2$:

$$P_R=I^2\cdot R=34,57{\mathrm{A}}^2\cdot 30\Omega \approx \underline{1037\mathrm{W}}✓$$ $$Q_L=I^2\cdot X_L=34,57{\mathrm{A}}^2\cdot 25,13\Omega \approx \underline{869\mathrm{var}}✓$$

Beide Werte stimmen mit den aus $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$ abgelesenen $P$ und $Q$ im Rahmen der Rundung überein. Der Unterschied von $\pm 1$ in der dritten Stelle ist eine reine Rundungsdifferenz.

d) Leistungsfaktor und Charakter

$$\cos \phi =\frac{P}{S}=\frac{1036\mathrm{W}}{1352\mathrm{VA}}\approx \underline{0,766}$$

Konsistent zu $\cos (39,96°)\approx 0,766$ aus a). Da $Q>0$, eilt der Strom der Spannung nach — die Schaltung verhält sich induktiv.

Drei Wege, dasselbe Ergebnis

Diese Aufgabe demonstriert den Charme der komplexen Scheinleistung: $P$ und $Q$ lassen sich auf drei Wegen berechnen, die zum identischen Ergebnis führen müssen:

1. Trigonometrisch: $P=UI\cos \phi$, $Q=UI\sin \phi$
2. Komplex: $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$, daraus $P=\mathrm{Re}\{\underline{S}\}$, $Q=\mathrm{Im}\{\underline{S}\}$
3. Über die Bauelemente: $P=\sum I_R^{2}R$, $Q=\sum I_L^2{X}_L-\sum I_C^2{X}_C$

Der dritte Weg ist besonders nützlich, wenn man einzelne Verlustquellen identifizieren will. Der zweite Weg ist meist der schnellste, sobald die komplexen Effektivwerte bekannt sind.