Übung ET2-06.04 – Leistungsdreieck eines Motors (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-06 Leistung im Wechselstromkreis

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Aufgabe

Ein einphasiger Wechselstrommotor wird am $230\mathrm{V}$-Netz betrieben. Auf dem Typenschild stehen die Nennstromstärke $I=12\mathrm{A}$ und der Leistungsfaktor $\cos {\phi }_1=0,82$ (induktiv).

Gegeben: $U=230\mathrm{V}$, $I=12\mathrm{A}$, $\cos {\phi }_1=0,82$ (induktiv)

a) Berechnen Sie die Scheinleistung $S$.

b) Bestimmen Sie den Phasenwinkel ${\phi }_1$ und berechnen Sie die Wirkleistung $P$ und die Blindleistung $Q$.

c) Verifizieren Sie das Ergebnis mit dem Leistungsdreieck $S=\sqrt{P^2+Q^2}$.

d) Wie groß wäre der Strom $I^{\ast }$, wenn der Motor dieselbe Wirkleistung $P$ bei einem idealen Leistungsfaktor $\cos \phi =1$ aufnehmen würde? Um wie viel Prozent sinkt der Strom?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $U=230\mathrm{V}$ (Effektivwert)
• $I=12\mathrm{A}$ (Effektivwert)
• $\cos {\phi }_1=0,82$ (induktiv, also ${\phi }_1>0$)

Bekannt:

• Scheinleistung: $S=U\cdot I$
• Wirkleistung: $P=UI\cos \phi$
• Blindleistung: $Q=UI\sin \phi$
• Leistungsdreieck: $S=\sqrt{P^2+Q^2}$

Gesucht

a) $S$ in $\mathrm{kVA}$
b) ${\phi }_1$, $P$ in $\mathrm{kW}$, $Q$ in $\mathrm{kvar}$
c) Pythagoras-Probe
d) Vergleichsstrom $I^{\ast }$ bei $\cos \phi =1$ und prozentuale Änderung

a) Scheinleistung

$$S=U\cdot I=230\mathrm{V}\cdot 12\mathrm{A}=2760\mathrm{VA}=\underline{2,76\mathrm{kVA}}$$

b) Phasenwinkel, Wirkleistung und Blindleistung

Phasenwinkel aus dem Leistungsfaktor:

$${\phi }_1=\arccos (0,82)\approx \underline{34,92°}$$

Da die Last induktiv ist, ist ${\phi }_1$ positiv.

Wirkleistung:

$$P=U\cdot I\cdot \cos {\phi }_1=2760\mathrm{VA}\cdot 0,82=2263\mathrm{W}\approx \underline{2,26\mathrm{kW}}$$

Blindleistung: Mit $\sin (34,92°)\approx 0,5724$ folgt

$$Q=U\cdot I\cdot \sin {\phi }_1=2760\mathrm{VA}\cdot 0,5724\approx 1580\mathrm{var}\approx \underline{+1,58\mathrm{kvar}}$$

(Vorzeichen positiv, weil die Last induktiv ist.)

c) Probe über das Leistungsdreieck

$$\sqrt{P^2+Q^2}=\sqrt{(2263\mathrm{W}{)}^2+(1580\mathrm{var}{)}^2}$$ $$=\sqrt{5,121\cdot 10^6+2,496\cdot 10^6}\mathrm{VA}=\sqrt{7,617\cdot 10^6}\mathrm{VA}\approx \underline{2760\mathrm{VA}}✓$$

Das stimmt mit der direkt berechneten Scheinleistung aus a) überein. Geometrisch entspricht das dem rechtwinkligen Leistungsdreieck mit Wirkleistung als horizontaler Kathete (Länge $2,26\mathrm{kW}$), Blindleistung als vertikaler Kathete nach oben (Länge $1,58\mathrm{kvar}$, weil induktiv) und Scheinleistung als Hypotenuse (Länge $2,76\mathrm{kVA}$) im Winkel ${\phi }_1=34,9°$ zur $P$-Achse.

d) Vergleichsstrom bei $\cos \phi =1$

Bei einem idealen Leistungsfaktor $\cos \phi =1$ wären Spannung und Strom in Phase. Die Wirkleistung ist dann gleich der Scheinleistung, und der Strom entspricht direkt $P/U$:

$$I^{\ast }=\frac{P}{U}=\frac{2263\mathrm{W}}{230\mathrm{V}}\approx \underline{9,84\mathrm{A}}$$

Stromreduktion:

$$\Delta I=\frac{I-I^{\ast }}{I}\cdot 100\%=\frac{12-9,84}{12}\cdot 100\%\approx \underline{18,0\%}$$

Würde dieser Motor irgendwie auf $\cos \phi =1$ „getrimmt”, könnte er bei gleicher mechanischer Leistung mit $18\%$ weniger Strom betrieben werden — die Zuleitung wäre entsprechend entlastet, und die Leitungsverluste $P_V\propto I^2$ sänken sogar um $1-(9,84/12{)}^2\approx 33\%$.

Wirkleistung ist nicht alles

Auf dem Typenschild eines Motors stehen oft sowohl die Nennleistung in $\mathrm{kW}$ (Wirkleistung) als auch die Nennstromstärke. Wer naiv $P=U\cdot I=230\cdot 12=2,76\mathrm{kW}$ rechnet, überschätzt die nutzbare Leistung um $22\%$ — denn die Scheinleistung $2,76\mathrm{kVA}$ umfasst sowohl die nutzbaren $2,26\mathrm{kW}$ als auch die zwischen Motor und Netz pendelnden $1,58\mathrm{kvar}$ Blindleistung.

Brücke zu Abschnitt 7

In der Praxis wird der Motor nicht „intern getrimmt”, sondern parallel zum Motor wird ein Kompensationskondensator geschaltet, der die induktive Blindleistung lokal liefert. Aus Netzsicht erscheint die Kombination dann mit deutlich höherem $\cos \phi$ — und der vom Netz gezogene Strom sinkt entsprechend. Genau das wird in Übung ET2-06.06 systematisch durchgerechnet.