Übung ET2-06.01 – Momentanleistung und doppelte Frequenz (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-06 Leistung im Wechselstromkreis

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Aufgabe

An einer induktiven Last liegt die sinusförmige Wechselspannung

$$u(t)=325\mathrm{V}\cdot \sin (\omega t)$$

bei einer Netzfrequenz von $f=50\mathrm{Hz}$ an. Es fließt der Strom

$$i(t)=10\mathrm{A}\cdot \sin (\omega t-30°).$$

a) Stellen Sie den Ausdruck für die Momentanleistung $p(t)$ auf, indem Sie die in Abschnitt 1 der Lektion hergeleitete Form $p(t)=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}[\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi )]$ verwenden. Tragen Sie die Zahlenwerte ein.

b) Identifizieren Sie den konstanten Anteil und den Wechselanteil. Mit welcher Frequenz schwingt der Wechselanteil?

c) Berechnen Sie die mittlere Leistung (Wirkleistung) $P$ einmal direkt aus dem konstanten Anteil und einmal über die Effektivwerte $U\cdot I\cdot \cos \phi$. Beide Wege müssen denselben Wert liefern.

d) Bestimmen Sie das Maximum $p_{\max }$ und das Minimum $p_{\min }$ der Momentanleistung. Was bedeutet ein negativer Wert von $p(t)$ physikalisch?

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Spannungsamplitude: $\hat{u}=325\mathrm{V}$
• Stromamplitude: $\hat{ı}=10\mathrm{A}$
• Phasenwinkel: $\phi =+30°$ (induktiv, Strom eilt Spannung nach)
• Frequenz: $f=50\mathrm{Hz}$, daraus $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$

Bekannt:

• Momentanleistung in Produktform (ET2-06 Abschnitt 1): $p(t)=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}[\cos \phi -\cos (2\omega t-\phi )]$
• Mittlere Leistung (ET2-06 Abschnitt 2): $P=U\cdot I\cdot \cos \phi$
• Effektivwerte: $U=\hat{u}/\sqrt{2}$, $I=\hat{ı}/\sqrt{2}$

Gesucht

a) Ausdruck für $p(t)$
b) konstanter Anteil, Wechselanteil, Frequenz des Wechselanteils
c) Mittelwert $P$ auf zwei Wegen
d) $p_{\max }$, $p_{\min }$, physikalische Deutung negativer Werte

a) Ausdruck für die Momentanleistung

Der Vorfaktor ist

$$\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}=\frac{325\mathrm{V}\cdot 10\mathrm{A}}{2}=1625\mathrm{W}.$$

Damit lautet die Momentanleistung:

$$\underline{p(t)=1625\mathrm{W}\cdot [\cos 30°-\cos (2\omega t-30°)]}$$

b) Konstanter Anteil und Wechselanteil

Konstanter Anteil (zeitunabhängig):

$$P_{\mathrm{konst}}=1625\mathrm{W}\cdot \cos 30°=1625\cdot 0,8660\mathrm{W}\approx \underline{1407\mathrm{W}}$$

Wechselanteil (mit der Zeit veränderlich):

$$p_{\sim }(t)=-1625\mathrm{W}\cdot \cos (2\omega t-30°)$$

Die Amplitude des Wechselanteils beträgt also ${\hat{p}}_{\sim }=1625\mathrm{W}$. Er schwingt mit der Kreisfrequenz $2\omega =2\cdot 314,16{\mathrm{s}}^{-1}=628,3{\mathrm{s}}^{-1}$, was einer Frequenz von

$$f_{\sim }=2f=\underline{100\mathrm{Hz}}$$

entspricht — die Momentanleistung pulsiert am $50\mathrm{Hz}$-Netz mit $100\mathrm{Hz}$.

c) Mittlere Leistung auf zwei Wegen

Weg 1 — direkt aus dem konstanten Anteil: Der Wechselanteil mittelt sich über eine ganze Periode zu null, übrig bleibt der konstante Anteil:

$$P=\frac{\hat{u}\hat{ı}}{2}\cos \phi =1625\mathrm{W}\cdot \cos 30°\approx \underline{1407\mathrm{W}}$$

Weg 2 — über die Effektivwerte: Mit $U=\hat{u}/\sqrt{2}$ und $I=\hat{ı}/\sqrt{2}$ folgt

$$U=\frac{325\mathrm{V}}{\sqrt{2}}\approx 229,8\mathrm{V},I=\frac{10\mathrm{A}}{\sqrt{2}}\approx 7,071\mathrm{A}$$ $$P=U\cdot I\cdot \cos \phi =229,8\mathrm{V}\cdot 7,071\mathrm{A}\cdot 0,8660\approx \underline{1407\mathrm{W}}✓$$

Beide Wege liefern dasselbe Ergebnis $P\approx 1,41\mathrm{kW}$ — wie es nach der Herleitung in der Lektion sein muss.

d) Maximum und Minimum der Momentanleistung

Der Wechselanteil $-\cos (2\omega t-30°)$ schwankt zwischen $+1$ und $-1$. Damit pendelt $p(t)$ symmetrisch um den konstanten Anteil mit der Amplitude $1625\mathrm{W}$:

$$p_{\max }=P_{\mathrm{konst}}+1625\mathrm{W}=1407+1625=\underline{3032\mathrm{W}}$$ $$p_{\min }=P_{\mathrm{konst}}-1625\mathrm{W}=1407-1625=\underline{-218\mathrm{W}}$$

Bedeutung des negativen Bereichs

Während der Zeitintervalle, in denen $p(t)<0$ ist, fließt Energie von der Last zurück zur Quelle. Bei einer induktiven Last wird die in der Spule gespeicherte magnetische Feldenergie ans Netz zurückgegeben. Über eine ganze Periode gemittelt heben sich „Hingegebene” und „Zurückgegebene” Energie nicht ganz auf — der Saldo ist die Wirkleistung $P\approx 1,41\mathrm{kW}$, die irreversibel an die Last übertragen wird.

Brücke zu Abschnitt 3

Bei rein ohmscher Last ($\phi =0$) wäre $\cos \phi =1$ und der konstante Anteil wäre exakt gleich der Amplitude des Wechselanteils — $p(t)$ würde dann zwischen $0$ und $2P$ schwanken und niemals negativ werden. Bei rein induktiver Last ($\phi =90°$) wäre $\cos \phi =0$ und der konstante Anteil verschwindet komplett — $p(t)$ pendelt dann symmetrisch um null mit verschwindender mittlerer Leistung. In dieser Aufgabe haben wir den Mischfall: ein nichtverschwindender konstanter Anteil und ein kurzes Zurückspeisen der Spulenenergie. Genau diese drei Fälle untersucht Übung ET2-06.03 systematisch.