Übung ET2-05.04 – RC-Tiefpass im Bode-Diagramm (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

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Aufgabe

Gegeben ist ein RC-Tiefpass nach der in Abschnitt 4 der Lektion gezeigten Schaltung:

Gegeben: $R=1\mathrm{k\Omega }$, $C=1\mu \mathrm{F}$

a) Berechnen Sie die Grenzfrequenz $f_g$ des Tiefpasses und schreiben Sie die Übertragungsfunktion $\underline{F}(j\omega )$ in der Form $\underline{F}=1/(1+j\omega RC)$ aus.
b) Bestimmen Sie für die fünf charakteristischen Frequenzen $f\in \{f_g/10,f_g/2,f_g,2f_g,10f_g\}$ jeweils den Amplitudengang $|F|$, dessen Wert in Dezibel und den Phasengang $\phi$. Tragen Sie die Ergebnisse in eine Tabelle ein.
c) Skizzieren Sie qualitativ das Bode-Diagramm — Amplitudengang in dB über ${\log }_{10}(f/f_g)$ und Phasengang in Grad über ${\log }_{10}(f/f_g)$ — und zeichnen Sie die beiden Asymptoten des Amplitudenganges ein. Wie groß ist die Steigung der oberen Asymptote in $dB/Dekade$?
d) Bei welcher Frequenz $f_{40}$ beträgt die Dämpfung exakt $-40\mathrm{dB}$? Wie verhält sich diese Frequenz zu $f_g$?

Lösung

a) $f_g=1/(2\pi RC)\approx 159,2\mathrm{Hz}$, $\underline{F}(j\omega )=1/(1+j\omega RC)$
b) Tabelle siehe Lösung — Eckwerte: bei $f=f_g$ ist $|F|=1/\sqrt{2}\approx 0,707$ ($-3,0\mathrm{dB}$, $\phi =-45°$); bei $f=10f_g$ ist $|F|\approx 0,1$ ($-20\mathrm{dB}$, $\phi \approx -84°$)
c) Asymptoten: $0\mathrm{dB}$ horizontal für $f\ll f_g$; $-20dB/Dekade$ abfallend für $f\gg f_g$ — Knickpunkt bei $f_g$
d) $f_{40}=100\cdot f_g\approx 15,9\mathrm{kHz}$ — zwei Dekaden über der Grenzfrequenz, weil pro Dekade $20\mathrm{dB}$ Dämpfung anfallen.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=1\mathrm{k\Omega }=1000\mathrm{\Omega }$
• $C=1\mu \mathrm{F}=10^{-6}\mathrm{F}$

Bekannt:

• Übertragungsfunktion RC-Tiefpass (ET2-05 Abschnitt 4.1): $\underline{F}(j\omega )=1/(1+j\omega RC)$
• Grenzfrequenz (ET2-05 Abschnitt 4.2): $f_g=1/(2\pi RC)$
• Amplituden- und Phasengang: $|F(f)|=1/\sqrt{1+(f/f_g{)}^2}$, $\phi (f)=-\arctan (f/f_g)$
• Dezibel (ET2-05 Abschnitt 6.1): $A_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}|F|$

Gesucht

a) $f_g$ und Übertragungsfunktion
b) $|F|$, $|F{|}_{\mathrm{dB}}$, $\phi$ bei fünf Frequenzen — Tabelle
c) Bode-Diagramm-Skizze mit Asymptoten, Steigung der Hochfrequenz-Asymptote
d) Frequenz mit Dämpfung $-40\mathrm{dB}$

a) Grenzfrequenz und Übertragungsfunktion

$$f_g=\frac{1}{2\pi RC}=\frac{1}{2\pi \cdot 1000\mathrm{\Omega }\cdot 10^{-6}\mathrm{F}}=\frac{1}{6,283\cdot 10^{-3}\mathrm{s}}\approx \underline{159,2\mathrm{Hz}}$$

Die Übertragungsfunktion ergibt sich direkt aus dem Spannungsteiler (${\underline{U}}_A$ über $C$):

$$\underline{F}(j\omega )=\frac{{\underline{U}}_A}{{\underline{U}}_E}=\frac{1/(j\omega C)}{R+1/(j\omega C)}=\underline{\frac{1}{1+j\omega RC}}$$

Mit $\omega RC=\omega /{\omega }_g=f/f_g$ wird die Übertragungsfunktion zu $\underline{F}(jf/f_g)=1/(1+jf/f_g)$ — die einzige Variable ist das Frequenzverhältnis zur Grenzfrequenz.

b) Tabelle der charakteristischen Werte

Mit $x=f/f_g$ gelten:

$$|F|=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}},|F{|}_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}|F|,\phi =-\arctan (x)$$

| $f$ | $x=f/f_g$ | $|F|$ | $|F{|}_{\mathrm{dB}}$ | $\phi$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $f_g/10\approx 15,9\mathrm{Hz}$ | $0,1$ | $0,995$ | $-0,04\mathrm{dB}$ | $-5,7°$ |
| $f_g/2\approx 79,6\mathrm{Hz}$ | $0,5$ | $0,894$ | $-0,97\mathrm{dB}$ | $-26,6°$ |
| $f_g\approx 159,2\mathrm{Hz}$ | $1$ | $0,707$ | $-3,01\mathrm{dB}$ | $-45,0°$ |
| $2f_g\approx 318,3\mathrm{Hz}$ | $2$ | $0,447$ | $-6,99\mathrm{dB}$ | $-63,4°$ |
| $10f_g\approx 1592\mathrm{Hz}$ | $10$ | $0,0995$ | $-20,04\mathrm{dB}$ | $-84,3°$ |

Beispielrechnung für $x=2$:

$$|F(2f_g)|=\frac{1}{\sqrt{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0,447$$ $$|F{|}_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}(0,447)=20\cdot (-0,3495)\approx \underline{-6,99\mathrm{dB}}$$ $$\phi =-\arctan (2)\approx \underline{-63,4°}$$

c) Bode-Diagramm und Asymptoten

Aus der Tabelle lassen sich zwei Grenzasymptoten des Amplitudenganges ablesen:

Untere Asymptote (Durchlassbereich, $f\ll f_g$): $|F|\to 1$, also $|F{|}_{\mathrm{dB}}\to 0\mathrm{dB}$ — eine horizontale Gerade.

Obere Asymptote (Sperrbereich, $f\gg f_g$): Hier ist $1$ gegenüber $(f/f_g{)}^2$ vernachlässigbar, also $|F|\approx f_g/f$. In dB:

$$|F{|}_{\mathrm{dB}}\approx 20\cdot {\log }_{10}\left(\frac{f_g}{f}\right)=-20\cdot {\log }_{10}\left(\frac{f}{f_g}\right)$$

Auf der logarithmischen Frequenzachse ist das eine Gerade mit Steigung $\underline{-20dB/Dekade}$: Bei jeder Verzehnfachung der Frequenz fällt $|F|$ um $20\mathrm{dB}$, also auf ein Zehntel der Spannung.

Beide Asymptoten schneiden sich bei $f=f_g$. Dort beträgt die exakte Kurve $-3\mathrm{dB}$, liegt also $3\mathrm{dB}$ unter dem Schnittpunkt der beiden Asymptoten ($0\mathrm{dB}$). Der Begriff „$-3\mathrm{dB}$-Frequenz” stammt genau hieraus.

Skizze (qualitativ):

|F| in dB                                  Phase
   0 ──────────●────                          0°  ───●─────
                  ╲                                        ╲
                   ╲ -20 dB/Dek                  -45°       ●  bei f_g
  -3                ╲                                        ╲
                     ●  bei f_g                              ╲
                      ╲                                       ╲
 -20                   ●  bei 10 f_g            -90°           ────●────
                        ╲
 -40                     ●  bei 100 f_g
   ──────────────────────────                  ──────────────────────
   0,1   1   10  100   f/f_g                  0,1   1   10  100

Der Phasengang ist eine S-Kurve, die für $f\to 0$ gegen $0°$ und für $f\to \infty$ gegen $-90°$ läuft, mit Wendepunkt $-45°$ exakt bei $f_g$. Eine grobe Asymptotenkonstruktion approximiert die Phase als linear fallend (in halblogarithmischer Auftragung) zwischen $0°$ bei $f_g/10$ und $-90°$ bei $10f_g$ — also Steigung $-45°$ pro Dekade über zwei Dekaden um $f_g$.

d) Frequenz mit Dämpfung $-40\mathrm{dB}$

$-40\mathrm{dB}$ entspricht einem Spannungsverhältnis $|F|=10^{-40/20}=10^{-2}=0,01$. Auf der Asymptote (gültig für $f\gg f_g$) gilt $|F|\approx f_g/f$, also:

$$\frac{f_g}{f_{40}}=0,01\iff f_{40}=100\cdot f_g\approx 100\cdot 159,2\mathrm{Hz}\approx \underline{15,9\mathrm{kHz}}$$

Das ist genau zwei Dekaden über $f_g$ — konsistent mit der Asymptoten-Steigung von $-20\mathrm{dB}$ pro Dekade: zwei Dekaden ergeben $-40\mathrm{dB}$.

Genauigkeit der Asymptoten-Näherung

Die exakte Rechnung liefert $|F(100f_g)|=1/\sqrt{1+10000}\approx 0,009999$ — der Fehler gegenüber der Asymptoten-Näherung ist verschwindend klein. Die Asymptoten sind also für $f\ge 10f_g$ in der Praxis eine ausgezeichnete Vereinfachung.

Brücke zu PR2 — Frequenzgang messen

Im Praktikumsversuch 2 werden Sie genau dieses Vorgehen invertiert anwenden: Sie messen den Frequenzgang punktweise mit Funktionsgenerator und Oszilloskop und tragen die Messpunkte in ein Bode-Diagramm ein. Aus dem $-3\mathrm{dB}$-Punkt lesen Sie $f_g$ ab, die Steigung der Hochfrequenz-Asymptote bestätigt die theoretischen $-20dB/Dekade$ — und falls die Messung davon abweicht, deutet das auf parasitäre Effekte hin (Kabelkapazität, Eingangsimpedanz des Oszilloskops).

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