Übung ET2-04.05 – Reale Spule aus DC- und AC-Messung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-04 Bauelemente im Wechselstromkreis

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Aufgabe

Im Labor sollen Sie eine reale Spule charakterisieren. Eine reale Spule besteht physikalisch aus einer Drahtwicklung und besitzt daher zusätzlich zu ihrer Induktivität $L$ einen ohmschen Drahtwiderstand $R$. Sie wird im Wechselstromkreis durch das Modell

$$\underline{Z}=R+j\omega L$$

beschrieben. Um beide Größen zu bestimmen, führen Sie zwei Messungen durch:

Messung 1 (Gleichstrom): Sie legen eine Gleichspannung von $U_{\mathrm{DC}}=6,0\mathrm{V}$ an und messen einen stationären Strom $I_{\mathrm{DC}}=1,50\mathrm{A}$.

Messung 2 (Wechselstrom, $f=50\mathrm{Hz}$): Sie legen eine sinusförmige Wechselspannung mit dem Effektivwert $U_{\mathrm{AC}}=24,0\mathrm{V}$ an und messen einen Effektivwert des Stroms von $I_{\mathrm{AC}}=0,80\mathrm{A}$.

a) Bestimmen Sie aus Messung 1 den ohmschen Drahtwiderstand $R$ der Spule. Begründen Sie kurz, warum hierfür Gleichstrom verwendet wird.

b) Bestimmen Sie aus Messung 2 den Scheinwiderstand $Z$ der Spule bei $50\mathrm{Hz}$.

c) Berechnen Sie den induktiven Blindwiderstand $X_L$ und daraus die Induktivität $L$ der Spule.

d) Geben Sie den Phasenwinkel $\phi$ zwischen Klemmenspannung und Strom bei $50\mathrm{Hz}$ an.

e) Diskutieren Sie kurz: Warum genügt eine AC-Messung allein nicht, um $L$ zu bestimmen? Was würde passieren, wenn Sie aus dem Quotienten $U_{\mathrm{AC}}/I_{\mathrm{AC}}$ direkt $\omega L$ berechnen?

Lösung

a) $R=4,0\mathrm{\Omega }$ — bei DC ist $\omega =0$, also $X_L=0$ und nur der Drahtwiderstand wirkt
b) $Z=30,0\mathrm{\Omega }$
c) $X_L\approx 29,73\mathrm{\Omega }$, $L\approx 94,6\mathrm{mH}$
d) $\phi \approx 82,3°$
e) AC liefert nur $Z$, nicht die Aufteilung in $R$ und $X_L$. Die Annahme $Z=\omega L$ würde $L$ um etwa $0,9\%$ zu hoch ansetzen — bei dieser stark induktiven Spule klein, bei „eher ohmschen” Drosseln aber dramatisch.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Messung 1 (DC): $U_{\mathrm{DC}}=6,0\mathrm{V}$, $I_{\mathrm{DC}}=1,50\mathrm{A}$
• Messung 2 (AC, $f=50\mathrm{Hz}$): $U_{\mathrm{AC}}=24,0\mathrm{V}$, $I_{\mathrm{AC}}=0,80\mathrm{A}$
• Modell: $\underline{Z}=R+j\omega L$, $\omega =2\pi f\approx 314,16{\mathrm{s}}^{-1}$

Bekannt:

• Spule bei DC: ${\underline{Z}}_L{|}_{\omega =0}=j\cdot 0\cdot L=0$, übrig bleibt nur $R$
• Allgemeiner Scheinwiderstand: $Z=|\underline{Z}|=\sqrt{R^2+X_L^2}$
• Phasenwinkel: $\phi =\arctan (X_L/R)$
• Induktivität aus Blindwiderstand: $L=X_L/\omega$

Gesucht

a) $R$
b) $Z$ bei 50 Hz
c) $X_L$, $L$
d) $\phi$
e) Diskussion: Warum reicht AC allein nicht?

a) Drahtwiderstand aus DC-Messung

Bei Gleichstrom gilt $\omega =0$ und damit $X_L=\omega L=0$. Das Modell reduziert sich zu $\underline{Z}{|}_{\mathrm{DC}}=R$. Die Spule wirkt im stationären DC-Fall wie ein reiner Widerstand — gerade so groß wie der Drahtwiderstand der Wicklung. Damit:

$$R=\frac{U_{\mathrm{DC}}}{I_{\mathrm{DC}}}=\frac{6,0\mathrm{V}}{1,50\mathrm{A}}=\underline{4,0\mathrm{\Omega }}$$

Genau diese Eigenschaft ist der Grund, warum man für die Charakterisierung einer realen Spule eine Zweischritt-Messung vornimmt: Mit DC isoliert man den ohmschen Anteil, der bei AC mit dem Blindanteil verschmolzen wäre.

b) Scheinwiderstand aus AC-Messung

Im AC-Betrieb misst man Effektivwerte, also gilt $Z=U_{\mathrm{AC}}/I_{\mathrm{AC}}$:

$$Z=\frac{U_{\mathrm{AC}}}{I_{\mathrm{AC}}}=\frac{24,0\mathrm{V}}{0,80\mathrm{A}}=\underline{30,0\mathrm{\Omega }}$$

Das ist der Betrag der komplexen Impedanz bei $50\mathrm{Hz}$ — er enthält bereits beide Anteile (ohmsch und induktiv), aber ohne die Aufteilung zu verraten.

c) Blindwiderstand und Induktivität

Aus dem Impedanzdreieck $Z^2=R^2+X_L^2$ folgt:

$$X_L=\sqrt{Z^2-R^2}=\sqrt{(30,0{)}^2-(4,0{)}^2}\mathrm{\Omega }=\sqrt{900-16}\mathrm{\Omega }=\sqrt{884}\mathrm{\Omega }\approx \underline{29,73\mathrm{\Omega }}$$

Aus $X_L=\omega L$:

$$L=\frac{X_L}{\omega }=\frac{29,73\mathrm{\Omega }}{314,16{\mathrm{s}}^{-1}}\approx 0,0946\mathrm{H}=\underline{94,6\mathrm{mH}}$$

d) Phasenwinkel

$$\phi =\arctan \frac{X_L}{R}=\arctan \frac{29,73}{4,0}=\arctan (7,43)\approx \underline{82,3°}$$

Die Spannung eilt dem Strom um $82,3°$ voraus — das Verhalten der Spule ist stark induktiv und nähert sich dem Idealfall $\phi =90°$. Anders gesagt: $X_L$ dominiert $R$ um etwa den Faktor 7,4.

e) Warum reicht AC allein nicht?

Naive AC-only-Auswertung: Würde man den AC-Quotienten direkt als $X_L$ interpretieren — also annehmen, die Spule sei ideal —, dann ergäbe sich:

$$X_L^{\mathrm{naiv}}=Z=30,0\mathrm{\Omega }\Rightarrow L^{\mathrm{naiv}}=\frac{30,0}{314,16}\mathrm{H}\approx 95,5\mathrm{mH}$$

Der Fehler beträgt:

$$\frac{L^{\mathrm{naiv}}-L}{L}=\frac{95,5-94,6}{94,6}\approx 0,9\%$$

In diesem konkreten Beispiel ist der Fehler klein, weil die Spule stark induktiv ist ($X_L\gg R$). Aber:

Gegenbeispiel mit gleichem $Z=30\mathrm{\Omega }$, aber dominantem ohmschen Anteil — etwa $R=25\mathrm{\Omega }$, $X_L=\sqrt{30^2-25^2}\mathrm{\Omega }\approx 16,6\mathrm{\Omega }$, also $L\approx 53\mathrm{mH}$. Die naive Auswertung würde $L^{\mathrm{naiv}}\approx 95\mathrm{mH}$ liefern, also fast den doppelten Wert. Der Fehler ist nicht festgelegt durch $Z$, sondern durch das Verhältnis $X_L/R$.

Verallgemeinerung:

$$\frac{L^{\mathrm{naiv}}}{L}=\frac{Z}{X_L}=\frac{1}{\sin \phi }$$

Bei kleinem $\phi$ (überwiegend ohmsch) wird der Fehler beliebig groß; nur bei $\phi \to 90°$ verschwindet er. Genau deshalb braucht man zwei Messungen: Erst die DC-Messung trennt $R$ ab, dann zerlegt $\sqrt{Z^2-R^2}$ den Rest sauber in den Blindanteil.

Modell und Wirklichkeit

Das hier verwendete Modell $\underline{Z}=R+j\omega L$ ist eine frequenzunabhängige Reihenschaltung des Drahtwiderstands $R$ mit einer idealen Induktivität $L$. Bei realen Spulen kommen mit zunehmender Frequenz weitere Effekte hinzu: Skin-Effekt (Drahtwiderstand wird größer), Wicklungskapazität (parasitärer Kondensator parallel zur Spule), Eisenverluste bei Spulen mit Kern (Hysterese, Wirbelströme). Bei $50\mathrm{Hz}$ und einer Luftspule darf man diese Effekte aber typischerweise vernachlässigen — das einfache Modell trägt.

Im Kontext von ET2

Genau diese Messreihe — DC-Widerstand und AC-Strom bei einer festen Frequenz — ist die Methodik von Praktikum 3. Dort variieren Sie zusätzlich die Frequenz und beobachten, wie $X_L$ linear mit $f$ steigt — die experimentelle Bestätigung der hier benutzten Formel $X_L=\omega L$. In ET2-06 wird mit demselben Modell die Wirkleistung am Drahtwiderstand und die Blindleistung der Induktivität getrennt berechnet — dort wird der Wert von $\cos \phi$ zur entscheidenden Größe.

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