Übung ET2-03.06 – Konjugiert Komplexes und Division in kartesischer Form (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Das konjugiert Komplexe ${\underline{z}}^{\ast }$ ist ein scheinbar harmloses Werkzeug — doch es steckt hinter zwei zentralen Operationen der komplexen Wechselstromrechnung: der Division in kartesischer Form (mit der das Erweitern den Nenner reell macht) und der Berechnung des Quadrats des Betrags ($|\underline{z}{|}^2=\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$). Diese Übung schärft das Verständnis dafür, warum genau diese Eigenschaft so nützlich ist.

Gegeben sind:

$${\underline{z}}_1=6+j8,{\underline{z}}_2=12+j5$$

a) Geben Sie ${\underline{z}}_1^{\ast }$ und ${\underline{z}}_2^{\ast }$ an. Berechnen Sie die Produkte ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }$ und ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }$.

b) Berechnen Sie die Beträge $|{\underline{z}}_1|$ und $|{\underline{z}}_2|$ und prüfen Sie für beide Zahlen die Identität $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=|\underline{z}{|}^2$.

c) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ in kartesischer Form, indem Sie den Bruch mit ${\underline{z}}_2^{\ast }$ erweitern.

d) Zeigen Sie allgemein für jede komplexe Zahl $\underline{z}=a+jb$ mit $a,b\in \mathbb{R}$, dass $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$ stets eine reelle und nicht-negative Zahl ist. Erklären Sie kurz, warum gerade diese Eigenschaft die Division in kartesischer Form ermöglicht.

Lösung

a) ${\underline{z}}_1^{\ast }=6-j8$, ${\underline{z}}_2^{\ast }=12-j5$; ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }=100$, ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }=169$
b) $|{\underline{z}}_1|=10$, $|{\underline{z}}_2|=13$; Identität bestätigt: $10^2=100$, $13^2=169$
c) $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{112+j\cdot 66}{169}=0,663+j\cdot 0,391$
d) $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=a^2+b^2\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$. Realer Nenner ermöglicht das einfache Aufteilen in Real- und Imaginärteil.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• ${\underline{z}}_1=6+j8$
• ${\underline{z}}_2=12+j5$

Bekannt:

• Konjugiert Komplexes (ET2-03): ${\underline{z}}^{\ast }=a-jb$, geometrisch eine Spiegelung an der reellen Achse
• Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugation (ET2-03): $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=a^2+b^2=r^2=|\underline{z}{|}^2$
• Division in kartesischer Form (ET2-03): Erweiterung des Bruchs mit ${\underline{z}}_2^{\ast }$ macht den Nenner reell
• $j^2=-1$ (ET2-03)

Gesucht

a) ${\underline{z}}_1^{\ast }$, ${\underline{z}}_2^{\ast }$, ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }$, ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }$
b) $|{\underline{z}}_1|$, $|{\underline{z}}_2|$, Verifikation von $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=|\underline{z}{|}^2$
c) ${\underline{z}}_1/{\underline{z}}_2$ in kartesischer Form
d) Allgemeiner Beweis, dass $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$ reell und nicht-negativ ist

a) Konjugiert Komplexes und Produkte

Konjugationen (Vorzeichen des Imaginärteils umkehren):

$${\underline{z}}_1^{\ast }=\underline{6-j8},{\underline{z}}_2^{\ast }=\underline{12-j5}$$

Produkt ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }$ (binomische Formel $(a+jb)(a-jb)=a^2-(jb{)}^2=a^2+b^2$):

$${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }=(6+j8)(6-j8)=6^2-(j8{)}^2=36-j^2\cdot 64=36+64=\underline{100}$$

Produkt ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }$:

$${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }=(12+j5)(12-j5)=12^2+5^2=144+25=\underline{169}$$

Beide Produkte sind reell und positiv — ein Vorgriff auf die allgemeine Eigenschaft in d).

b) Beträge und Verifikation der Identität

$$|{\underline{z}}_1|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=\underline{10}$$ $$|{\underline{z}}_2|=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=\underline{13}$$

Verifikation der Identität $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=|\underline{z}{|}^2$:

| Zahl | $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$ | $|\underline{z}{|}^2$ | Identität erfüllt? |
|:---|:---:|:---:|:---:|
| ${\underline{z}}_1$ | $100$ | $10^2=100$ | ✓ |
| ${\underline{z}}_2$ | $169$ | $13^2=169$ | ✓ |

c) Division in kartesischer Form

Den Bruch mit ${\underline{z}}_2^{\ast }=12-j5$ erweitern:

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{(6+j8)(12-j5)}{(12+j5)(12-j5)}$$

Nenner — bereits in Aufgabenteil a) berechnet:

$$(12+j5)(12-j5)=144+25=169$$

(Reell und positiv — genau das wollten wir mit der Erweiterung erreichen.)

Zähler — ausmultiplizieren mit $j^2=-1$:

$$(6+j8)(12-j5)=6\cdot 12+6\cdot (-j5)+j8\cdot 12+j8\cdot (-j5)$$ $$=72-j30+j96-j^2\cdot 40=72-j30+j96+40$$ $$=(72+40)+j(-30+96)=112+j\cdot 66$$

Quotient:

$$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{112+j\cdot 66}{169}=\frac{112}{169}+j\cdot \frac{66}{169}=\underline{0,663+j\cdot 0,391}$$

Konsistenzprüfung über die Polarform:

$${\underline{z}}_1=10\cdot e^{j\cdot \arctan (8/6)}=10\cdot e^{j\cdot 53,13°}$$ $${\underline{z}}_2=13\cdot e^{j\cdot \arctan (5/12)}=13\cdot e^{j\cdot 22,62°}$$ $$\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{10}{13}\cdot e^{j(53,13°-22,62°)}=0,7692\cdot e^{j\cdot 30,51°}$$

In kartesischer Form:

$$0,7692\cdot \cos 30,51°+j\cdot 0,7692\cdot \sin 30,51°=0,663+j\cdot 0,391✓$$

Beide Wege führen zum identischen Ergebnis.

d) Allgemeiner Beweis

Sei $\underline{z}=a+jb$ mit $a,b\in \mathbb{R}$. Dann ist ${\underline{z}}^{\ast }=a-jb$ und

$$\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=(a+jb)(a-jb)$$

Ausmultiplizieren:

$$=a\cdot a+a\cdot (-jb)+jb\cdot a+jb\cdot (-jb)$$ $$=a^2-jab+jab-j^2{b}^2$$

Die gemischten Terme $-jab$ und $+jab$ heben sich auf. Mit $j^2=-1$ wird der letzte Term zu $-(-1)\cdot b^2=+b^2$:

$$\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=a^2+b^2$$

Reellwertigkeit: Da $a$ und $b$ reell sind, sind auch $a^2$ und $b^2$ reell. Ihre Summe ist reell. $\square$

Nicht-Negativität: Quadrate reeller Zahlen sind stets $\ge 0$, also gilt $a^2\ge 0$ und $b^2\ge 0$. Damit ist $a^2+b^2\ge 0$. $\square$

Bedeutung für die Division: Wenn man einen Bruch $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ mit ${\underline{z}}_2^{\ast }$ erweitert, wird der Nenner zu ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }=a_2^2+b_2^2$ — einer reellen, positiven Zahl. Der komplette Bruch wird dadurch zu einer komplexen Zahl geteilt durch eine reelle Zahl, was sich trivial in Real- und Imaginärteil zerlegen lässt:

$$\frac{x+jy}{c}=\frac{x}{c}+j\cdot \frac{y}{c}$$

Ohne diese Eigenschaft müsste man komplexe Brüche mit Polynomdivisionen oder anderen aufwendigen Methoden behandeln — die Konjugation ist also der entscheidende Trick, der die Division in kartesischer Form überhaupt erst praktikabel macht.

Geometrische Interpretation

$\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=|\underline{z}{|}^2=r^2$ — das Produkt entspricht dem Quadrat der Zeigerlänge. Geometrisch: Multipliziert man $\underline{z}$ mit ${\underline{z}}^{\ast }$, so addieren sich die Beträge multiplikativ ($r\cdot r=r^2$), und die Phasenwinkel addieren sich zu $\phi +(-\phi )=0°$ — das Ergebnis liegt also exakt auf der reellen Achse mit dem Wert $r^2$. Diese geometrische Sichtweise erklärt das Resultat ohne jedes Ausmultiplizieren.

Im Kontext von ET2

Die Konstellation $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$ taucht in ET2-06 in zentraler Rolle wieder auf — als komplexe Scheinleistung $\underline{S}=\underline{U}\cdot {\underline{I}}^{\ast }$. Der Realteil von $\underline{S}$ ist die Wirkleistung $P$, der Imaginärteil die Blindleistung $Q$. Die Konjugation des Stroms ist dabei kein Rechentrick, sondern liefert die physikalisch korrekte Phasenbeziehung zwischen Spannung und Strom für die Leistungsbilanz. Wer hier die Eigenschaften von ${\underline{z}}^{\ast }$ sicher beherrscht, hat in ET2-06 einen klaren Vorteil.

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