Übung ET2-03.06 – Konjugiert Komplexes und Division in kartesischer Form

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-04-27)

Bezug zu ET2-03 Komplexe Wechselstromrechnung

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Aufgabe

Das konjugiert Komplexe ${\underline{z}}^{\ast }$ ist ein scheinbar harmloses Werkzeug — doch es steckt hinter zwei zentralen Operationen der komplexen Wechselstromrechnung: der Division in kartesischer Form (mit der das Erweitern den Nenner reell macht) und der Berechnung des Quadrats des Betrags ($|\underline{z}{|}^2=\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$). Diese Übung schärft das Verständnis dafür, warum genau diese Eigenschaft so nützlich ist.

Gegeben sind:

$${\underline{z}}_1=6+j8,{\underline{z}}_2=12+j5$$

a) Geben Sie ${\underline{z}}_1^{\ast }$ und ${\underline{z}}_2^{\ast }$ an. Berechnen Sie die Produkte ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }$ und ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }$.

b) Berechnen Sie die Beträge $|{\underline{z}}_1|$ und $|{\underline{z}}_2|$ und prüfen Sie für beide Zahlen die Identität $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=|\underline{z}{|}^2$.

c) Berechnen Sie den Quotienten $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}$ in kartesischer Form, indem Sie den Bruch mit ${\underline{z}}_2^{\ast }$ erweitern.

d) Zeigen Sie allgemein für jede komplexe Zahl $\underline{z}=a+jb$ mit $a,b\in \mathbb{R}$, dass $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }$ stets eine reelle und nicht-negative Zahl ist. Erklären Sie kurz, warum gerade diese Eigenschaft die Division in kartesischer Form ermöglicht.

Lösung

a) ${\underline{z}}_1^{\ast }=6-j8$, ${\underline{z}}_2^{\ast }=12-j5$; ${\underline{z}}_1\cdot {\underline{z}}_1^{\ast }=100$, ${\underline{z}}_2\cdot {\underline{z}}_2^{\ast }=169$
b) $|{\underline{z}}_1|=10$, $|{\underline{z}}_2|=13$; Identität bestätigt: $10^2=100$, $13^2=169$
c) $\frac{{\underline{z}}_1}{{\underline{z}}_2}=\frac{112+j\cdot 66}{169}=0,663+j\cdot 0,391$
d) $\underline{z}\cdot {\underline{z}}^{\ast }=a^2+b^2\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$. Realer Nenner ermöglicht das einfache Aufteilen in Real- und Imaginärteil.

▶️ Vollständiger Lösungsweg