Übung ET1-10.05 – Energieübertragung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-01)

Bezug zu ET1-10 Induktion

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Aufgabe

Ein kleines Wasserkraftwerk in den Alpen erzeugt eine elektrische Leistung von $P=2,0\mathrm{MW}$. Diese Leistung soll über eine $25\mathrm{km}$ lange Freileitung ins Tal übertragen werden. Die Freileitung besteht aus Aluminiumseilen mit einem Querschnitt von $A=150\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$ (Hin- und Rückleitung zusammen: $l=50\mathrm{km}$).
Der spezifische Widerstand von Aluminium beträgt ${\rho }_{\mathrm{Al}}=2,7\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$.

a) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{L}}$ der Leitung!

b) Welcher Strom $I$ fließt und welche Verlustleistung $P_{\mathrm{V}}$ entsteht, wenn die Übertragung bei $U_1=20\mathrm{kV}$ erfolgt? Wie groß ist der prozentuale Verlust?

c) Das Kraftwerk wird mit einem Transformator ausgerüstet, der die Spannung auf $U_2=110\mathrm{kV}$ erhöht. Berechnen Sie den neuen Strom und die neue Verlustleistung! Wie groß ist der prozentuale Verlust jetzt?

d) Um wie viel Prozent sinken die Verluste durch die Spannungserhöhung?

e) Welche Spannung $U_3$ wäre erforderlich, um die Verluste auf maximal $1\%$ der übertragenen Leistung zu begrenzen?

f) Wie viel Energie (in $\mathrm{MWh}$) geht bei Dauerbetrieb über ein Jahr verloren – einmal bei $20\mathrm{kV}$ und einmal bei $110\mathrm{kV}$? Welche Kosteneinsparung ergibt sich bei einem Strompreis von $0,10\frac{\mathrm{EUR}}{\mathrm{kWh}}$?

Lösung

a) $R_{\mathrm{L}}=9,0\Omega$
b) $I_1=100\mathrm{A}$; $P_{\mathrm{V},1}=90\mathrm{kW}$ (4,5 %)
c) $I_2=18,2\mathrm{A}$; $P_{\mathrm{V},2}=3\mathrm{kW}$ (0,15 %)
d) Reduktion um 96,7 %
e) $U_3\ge 42\mathrm{kV}$
f) Bei 20 kV: 788 MWh/a (78.840 EUR/a); bei 110 kV: 26 MWh/a (2.628 EUR/a); Ersparnis: 76.212 EUR/a

▶️ Vollständiger Lösungsweg

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Übertragene Leistung: $P=2,0\mathrm{MW}=2,0\cdot 10^6\mathrm{W}$
• Leitungslänge (einfach): $25\mathrm{km}$; Gesamtlänge (Hin + Rück): $l=50\mathrm{km}=50000\mathrm{m}$
• Leiterquerschnitt: $A=150\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2=150\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$
• Spezifischer Widerstand: ${\rho }_{\mathrm{Al}}=2,7\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}$
• Spannungen: $U_1=20\mathrm{kV}$; $U_2=110\mathrm{kV}$
• Für f): Strompreis $0,10\frac{\mathrm{EUR}}{\mathrm{kWh}}$

Bekannt:

• Leitungswiderstand: $R=\rho \cdot \frac{l}{A}$
• Verlustleistung: $P_{\mathrm{V}}=I^2\cdot R_{\mathrm{L}}=\frac{P^2}{U^2}\cdot R_{\mathrm{L}}$
• Strom bei gegebener Leistung: $I=\frac{P}{U}$

Gesucht

a) Leitungswiderstand $R_{\mathrm{L}}$ in $\Omega$
b) Strom $I_1$ und Verlustleistung $P_{\mathrm{V},1}$ bei $20\mathrm{kV}$
c) Strom $I_2$ und Verlustleistung $P_{\mathrm{V},2}$ bei $110\mathrm{kV}$
d) Prozentuale Verlustreduktion
e) Mindestspannung $U_3$ für maximal $1\%$ Verlust
f) Jährlicher Energieverlust und Kosteneinsparung

a) Leitungswiderstand

Der Widerstand der Freileitung berechnet sich aus:

$$R_{\mathrm{L}}={\rho }_{\mathrm{Al}}\cdot \frac{l}{A}=2,7\cdot 10^{-8}\mathrm{\Omega }\cdot \mathrm{m}\cdot \frac{50000\mathrm{m}}{150\cdot 10^{-6}{\mathrm{m}}^2}$$ $$R_{\mathrm{L}}=2,7\cdot 10^{-8}\cdot \frac{5\cdot 10^4}{1,5\cdot 10^{-4}}\Omega =2,7\cdot 10^{-8}\cdot 3,33\cdot 10^8\Omega =\underline{9,0\Omega }$$

b) Übertragung bei 20 kV

Strom:

$$I_1=\frac{P}{U_1}=\frac{2,0\cdot 10^6\mathrm{W}}{20\cdot 10^3\mathrm{V}}=\underline{100\mathrm{A}}$$

Verlustleistung:

$$P_{\mathrm{V},1}=I_1^2\cdot R_{\mathrm{L}}=(100\mathrm{A}{)}^2\cdot 9,0\Omega =10000\cdot 9,0\mathrm{W}=\underline{90\mathrm{kW}}$$

Prozentualer Verlust:

$$\frac{P_{\mathrm{V},1}}{P}=\frac{90\mathrm{kW}}{2000\mathrm{kW}}=0,045=\underline{4,5\%}$$

c) Übertragung bei 110 kV

Strom:

$$I_2=\frac{P}{U_2}=\frac{2,0\cdot 10^6\mathrm{W}}{110\cdot 10^3\mathrm{V}}=\frac{2000000}{110000}\mathrm{A}=\underline{18,2\mathrm{A}}$$

Verlustleistung:

$$P_{\mathrm{V},2}=I_2^2\cdot R_{\mathrm{L}}=(18,2\mathrm{A}{)}^2\cdot 9,0\Omega =331,2\cdot 9,0\mathrm{W}=2,98\mathrm{kW}\approx \underline{3,0\mathrm{kW}}$$

Prozentualer Verlust:

$$\frac{P_{\mathrm{V},2}}{P}=\frac{2,98\mathrm{kW}}{2000\mathrm{kW}}=0,00149=\underline{0,15\%}$$

Quadratische Abhängigkeit

Die Spannung wurde um den Faktor $\frac{110}{20}=5,5$ erhöht. Die Verluste sinken um den Faktor $5,5^2=30,25$ – von $90\mathrm{kW}$ auf etwa $3,0\mathrm{kW}$.

d) Prozentuale Verlustreduktion

$$\text{Reduktion}=\frac{P_{\mathrm{V},1}-P_{\mathrm{V},2}}{P_{\mathrm{V},1}}=\frac{90\mathrm{kW}-2,98\mathrm{kW}}{90\mathrm{kW}}=\frac{87,02}{90}=0,967=\underline{96,7\%}$$

Die Verluste sinken also um 96,7 % durch die Spannungserhöhung.

e) Mindestspannung für 1 % Verlust

Bei maximal $1\%$ Verlust gilt:

$$P_{\mathrm{V},\max }=0,01\cdot P=0,01\cdot 2,0\mathrm{MW}=20\mathrm{kW}$$

Mit der Verlustformel:

$$P_{\mathrm{V}}=\frac{P^2}{U^2}\cdot R_{\mathrm{L}}\le P_{\mathrm{V},\max }$$

Umgestellt nach $U$:

$$U^2\ge \frac{P^2\cdot R_{\mathrm{L}}}{P_{\mathrm{V},\max }}=\frac{(2,0\cdot 10^6\mathrm{W}{)}^2\cdot 9,0\Omega }{20\cdot 10^3\mathrm{W}}$$ $$U^2\ge \frac{4,0\cdot 10^{12}\cdot 9,0}{20\cdot 10^3}{\mathrm{V}}^2=\frac{36\cdot 10^{12}}{20\cdot 10^3}{\mathrm{V}}^2=1,8\cdot 10^9{\mathrm{V}}^2$$ $$U\ge \sqrt{1,8\cdot 10^9}\mathrm{V}=42426\mathrm{V}\approx \underline{42\mathrm{kV}}$$

f) Jährlicher Energieverlust und Kosteneinsparung

Betriebsstunden pro Jahr:

$$t=365\cdot 24\mathrm{h}=8760\mathrm{h}$$

Energieverlust bei 20 kV:

$$W_{\mathrm{V},1}=P_{\mathrm{V},1}\cdot t=90\mathrm{kW}\cdot 8760\mathrm{h}=788,4\cdot 10^3\mathrm{kWh}=\underline{788MWh/a}$$

Kosten bei 20 kV:

$$K_1=788400\mathrm{kWh}\cdot 0,10\frac{\mathrm{EUR}}{\mathrm{kWh}}=\underline{78.840EUR/a}$$

Energieverlust bei 110 kV:

$$W_{\mathrm{V},2}=P_{\mathrm{V},2}\cdot t=3,0\mathrm{kW}\cdot 8760\mathrm{h}=26,28\cdot 10^3\mathrm{kWh}=\underline{26MWh/a}$$

Kosten bei 110 kV:

$$K_2=26280\mathrm{kWh}\cdot 0,10\frac{\mathrm{EUR}}{\mathrm{kWh}}=\underline{2.628EUR/a}$$

Jährliche Kosteneinsparung:

$$\Delta K=K_1-K_2=78.840\mathrm{EUR}-2.628\mathrm{EUR}\approx \underline{76.212EUR/a}$$

Wirtschaftliche Bedeutung

Die Spannungserhöhung von 20 kV auf 110 kV spart bei diesem kleinen Kraftwerk bereits fast 80.000 EUR pro Jahr an Energieverlusten. Bei großen Kraftwerken mit mehreren 100 MW Leistung und längeren Übertragungsstrecken sind die Einsparungen entsprechend größer – die Hochspannungsübertragung ist daher wirtschaftlich unverzichtbar.