Übung ET1-05.06 — Ersatzwiderstand komplexes Netzwerk (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-01)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Für das skizzierte Widerstandsnetzwerk gilt:

• $R_1=100\Omega$; $R_2=150\Omega$; $R_3=200\Omega$; $R_4=180\Omega$; $R_5=220\Omega$ $R_6=120\Omega$
• $U=24\mathrm{V}$

a) Identifizieren Sie eine mögliche Vereinfachungsstrategie!
b) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand zwischen den Eingangsklemmen durch schrittweise Vereinfachung!
c) Welcher Strom fließt bei einer angelegten Spannung von $U_{AD}=24,0\mathrm{V}$?
d) Welche Gesamtleistung wird im Netzwerk umgesetzt?

Lösung

a) Dreieck-Stern-Umwandlung B-C-D (eine von mehreren Möglichkeiten)
b) $R_{\mathrm{ges}}\approx 70,6\Omega$
c) $I\approx 340\mathrm{mA}$
d) $P\approx 8,16\mathrm{W}$

▶️ Vollständiger Lösungsweg

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Widerstände: $R_1=100\Omega$, $R_2=150\Omega$, $R_3=200\Omega$, $R_4=180\Omega$, $R_5=220\Omega$, $R_6=120\Omega$
• Spannung: $U_{AD}=24\mathrm{V}$

Bekannt:

• Dreieck-Stern-Umwandlung
• Reihen- und Parallelschaltung
• Ohmsches Gesetz: $I=\frac{U}{R}$
• Leistung: $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}$

Gesucht

a) Netzwerkskizze und Strategie
b) Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ zwischen A und D in $\Omega$
c) Gesamtstrom $I$ in $\mathrm{A}$
d) Gesamtleistung $P$ in $\mathrm{W}$

a) Strategie zur Vereinfachung

Knotenpunkte bezeichnen (A-B-C-D):

Es gibt mehrere Möglichkeiten zur Vereinfachung. Hier wird eine gewählt und verfolgt.

**Dreieck B-C-D (gebildet durch $R_2$, $R_3$, $R_5$) in einen Stern (mit dem Sternpunkt S) umwandeln:

Dadurch entsteht eine einfache gemischte Schaltung aus Reihen- und Parallelschaltungen:

Reihen- und Parallelschaltungen vereinfachen bzw. Ersatzwiderstände berechnen:

Gesamtwiderstand ermitteln:

b) Ersatzwiderstand durch Dreieck-Stern-Umwandlung

(Skizze wie oben)

Schritt 1: Dreieck B-C-D in Stern umwandeln

Dreieckwiderstände: $R_2=150\Omega$ (B-C), $R_3=200\Omega$ (C-D), $R_5=220\Omega$ (B-D)

Summe der Dreieckwiderstände:

$$R_{\Sigma }=R_2+R_3+R_5=150\Omega +200\Omega +220\Omega =570\Omega$$

Sternwiderstände (mit Sternpunkt S):

$$R_B=\frac{R_2\cdot R_5}{R_{\Sigma }}=\frac{150\Omega \cdot 220\Omega }{570\Omega }\approx 57,9\Omega$$ $$R_C=\frac{R_2\cdot R_3}{R_{\Sigma }}=\frac{150\Omega \cdot 200\Omega }{570\Omega }\approx 52,6\Omega$$ $$R_D=\frac{R_3\cdot R_5}{R_{\Sigma }}=\frac{200\Omega \cdot 220\Omega }{570\Omega }\approx 77,2\Omega$$

Schritt 2: Vereinfachung des umgewandelten Netzwerks
Nach der Umwandlung:

• Von A nach S: $R_1=100\Omega$ in Reihe mit $R_B=57,9\Omega$
• Von A nach S: $R_4=180\Omega$ in Reihe mit $R_C=52,6\Omega$
• Von A nach S nach D: Die parallelen A-B-S und A-C-S, von über dort $R_D$ nach D
• Parallel dazu direkt von A nach D: $R_6=120\Omega$

Weg A-B-S:

$$R_{1B}=R_1+R_B=100\Omega +57,9\Omega =157,9\Omega$$

Weg A-C-S:

$$R_{4C}=R_4+R_C=180\Omega +52,6\Omega =232,6\Omega$$

Parallelschaltung der Wege von A nach S:

$$R_{AS}=\frac{R_{1B}\cdot R_{4C}}{R_{1B}+R_{4C}}=\frac{157,9\Omega \cdot 232,6\Omega }{157,9\Omega +232,6\Omega }=\frac{36731{\Omega }^2}{390,5\Omega }\approx 94,1\Omega$$

Reihenschaltung mit $R_D$:

$$R_{ASD}=R_{AS}+R_D=94,1\Omega +77,2\Omega =171,3\Omega$$

Parallelschaltung mit direktem Weg $R_6$:

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_{ASD}\cdot R_6}{R_{ASD}+R_6}=\frac{171,3\Omega \cdot 120\Omega }{171,3\Omega +120\Omega }=\frac{20556{\Omega }^2}{291,3\Omega }\approx \underline{70,6\Omega }$$

c) Gesamtstrom

Nach dem Ohm’schen Gesetz:

$$I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{24,0\mathrm{V}}{70,6\Omega }\approx 0,340\mathrm{A}=\underline{340\mathrm{mA}}$$

d) Gesamtleistung

$$P=U\cdot I=24,0\mathrm{V}\cdot 0,340\mathrm{A}\approx 8,16\mathrm{W}$$

Alternativ:

$$P=\frac{U^2}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{(24,0\mathrm{V}{)}^2}{70,6\Omega }=\frac{576{\mathrm{V}}^2}{70,6\Omega }\approx \underline{8,16\mathrm{W}}$$

Komplexe Netzwerke in der Praxis

Bei komplexen Netzwerken gibt es verschiedene Lösungsstrategien:

Grafische Methoden:

• Netzwerk systematisch umzeichnen
• Symmetrien erkennen und nutzen
• Äquivalente Knoten identifizieren

Mathematische Methoden:

• Dreieck-Stern-Umwandlung: Wenn drei Knoten ein Dreieck bilden
• Reihen-/Parallelreduktion: Schrittweise Vereinfachung
• Kirchhoff’sche Sätze: Für Netzwerke, die nicht vereinfachbar sind (nächste Lektion)

Praktischer Tipp:

1. Netzwerk sauber zeichnen mit Knotenbezeichnungen
2. Alle möglichen Vereinfachungen prüfen (parallel/Reihe)
3. Wenn keine Vereinfachung möglich: Dreieck-Stern-Umwandlung versuchen
4. Nach jeder Umwandlung: neu zeichnen und wieder von vorn prüfen

Validierung: Bei komplexen Rechnungen Zwischenergebnisse auf Plausibilität prüfen. Der Gesamtwiderstand muss zwischen dem kleinsten und der Summe aller Widerstände liegen.