Übung ET1-06.R1 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-08)

Bezug zu ET1-06 Kirchhoffsche Regeln zur Netzwerkanalyse

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Aufgabe

In einer Hausinstallation verzweigt sich die Zuleitung an einem Verteilerkasten in mehrere Stromkreise. An dem Verteilerpunkt (Knoten K) sind fünf Leitungen angeschlossen:

• Zuleitung vom Hausanschluss: $I_1=25\mathrm{A}$ (fließt zum Knoten hin)
• Stromkreis Küche: $I_2=8,5\mathrm{A}$ (fließt vom Knoten weg)
• Stromkreis Wohnzimmer: $I_3=6,0\mathrm{A}$ (fließt vom Knoten weg)
• Stromkreis Keller mit PV-Speicher: $I_4$ (unbekannt, Richtung zunächst unbekannt)
• Stromkreis Außenbeleuchtung: $I_5=2,5\mathrm{A}$ (fließt vom Knoten weg)

a) Formulieren Sie die Knotengleichung für den Verteilerpunkt K.

b) Berechnen Sie die Stromstärke $I_4$ im Stromkreis Keller.

c) In welche Richtung fließt der Strom $I_4$? Interpretieren Sie das Ergebnis.

d) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis durch eine Plausibilitätskontrolle.

Lösung

a) $I_1-I_2-I_3-I_4-I_5=0$
b) $I_4=8,0\mathrm{A}$
c) Der Strom fließt vom Knoten weg (Verbraucher im Keller)
d) $\sum I_{\mathrm{ab}}=25,0\mathrm{A}=I_{\mathrm{zu}}$ ✔

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Zuleitungsstrom: $I_1=25\mathrm{A}$ (zum Knoten hin)
• Strom Küche: $I_2=8,5\mathrm{A}$ (vom Knoten weg)
• Strom Wohnzimmer: $I_3=6,0\mathrm{A}$ (vom Knoten weg)
• Strom Außenbeleuchtung: $I_5=2,5\mathrm{A}$ (vom Knoten weg)

Bekannt:

• Knotenpunktregel (1. Kirchhoffscher Satz): $\sum I_k=0$
• Äquivalent: $\sum I_{\mathrm{zu}}=\sum I_{\mathrm{ab}}$

Dabei ist:

• $I_k$ der $k$-te Strom am Knoten in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $I_{\mathrm{zu}}$ die Summe der zufließenden Ströme in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $I_{\mathrm{ab}}$ die Summe der abfließenden Ströme in Ampere ($\mathrm{A}$)

Gesucht

a) Knotengleichung für Verteilerpunkt K
b) Stromstärke $I_4$ im Stromkreis Keller
c) Stromrichtung und Interpretation
d) Plausibilitätskontrolle

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a) Knotengleichung

Skizze des Knotens:

Nach der Knotenpunktregel ist die Summe aller Ströme an einem Knoten gleich null.

Vorzeichenkonvention:

• Ströme zum Knoten hin: positiv (+)
• Ströme vom Knoten weg: negativ (−)

Wir nehmen zunächst an, dass $I_4$ vom Knoten wegfließt (wie die anderen Verbraucherströme):

$$I_1-I_2-I_3-I_4-I_5=0$$

b) Berechnung von $I_4$

Umstellen der Knotengleichung nach $I_4$:

$$I_4=I_1-I_2-I_3-I_5$$

Einsetzen der Werte:

$$I_4=25\mathrm{A}-8,5\mathrm{A}-6,0\mathrm{A}-2,5\mathrm{A}$$ $$I_4=25\mathrm{A}-17,0\mathrm{A}=\underline{8,0\mathrm{A}}$$

c) Stromrichtung und Interpretation

Das Ergebnis $I_4=+8,0\mathrm{A}$ ist positiv. Da wir angenommen hatten, dass $I_4$ vom Knoten wegfließt, bestätigt das positive Vorzeichen diese Annahme.

Interpretation: Der Strom von $8,0\mathrm{A}$ fließt vom Verteilerkasten zum Stromkreis Keller. Im Keller sind offensichtlich Verbraucher eingeschaltet, die zusammen eine Stromaufnahme von $8,0\mathrm{A}$ haben. Im anderen Fall hätte es sein können, dass der PV-Speicher Energie in die Verteilung einspeist.

Typische Verbraucher

Eine Stromaufnahme von $8,0\mathrm{A}$ bei $230\mathrm{V}$ entspricht einer Leistung von $1,84\mathrm{kW}$. Das könnte z.B. ein Wäschetrockner ($1750\mathrm{W}$) plus Raumbeleuchtung ($100\mathrm{W}$) sein.

d) Plausibilitätskontrolle

Methode 1: Summe der abfließenden Ströme

$$\sum I_{\mathrm{ab}}=I_2+I_3+I_4+I_5=8,5\mathrm{A}+6,0\mathrm{A}+8,0\mathrm{A}+2,5\mathrm{A}=25,0\mathrm{A}$$ $$\sum I_{\mathrm{zu}}=I_1=25,0\mathrm{A}$$ $$\sum I_{\mathrm{ab}}=\sum I_{\mathrm{zu}}✓$$

Methode 2: Knotengleichung einsetzen

$$I_1-I_2-I_3-I_4-I_5=25-8,5-6,0-8,0-2,5=0✓$$

Die Lösung ist korrekt!

Praktische Bedeutung

Die Knotenpunktregel ist fundamental für die Auslegung elektrischer Anlagen. Die Zuleitung muss für die Summe aller Verbraucherströme dimensioniert sein. In diesem Beispiel trägt die $25\mathrm{A}$-Zuleitung gerade noch alle Verbraucher – bei zusätzlichen Lasten würde die Absicherung ansprechen.