Übung ET1-05.R3

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-07)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Ein Widerstandsnetzwerk hat die Form einer Brückenschaltung mit folgenden Widerständen:

• $R_1=100\Omega$ (oberer linker Zweig)
• $R_2=200\Omega$ (unterer linker Zweig)
• $R_3=150\Omega$ (oberer rechter Zweig)
• $R_4=250\Omega$ (unterer rechter Zweig)
• $R_5=50\Omega$ (Brückenwiderstand)

Die Schaltung wird an einer Spannungsquelle mit $U_0=24,0\mathrm{V}$ betrieben.

a) Prüfen Sie, ob die Brücke abgeglichen ist.

b) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand (Eingangswiderstand) der nicht abgeglichenen Brücke mittels Stern-Dreieck-Umwandlung.

c) Berechnen Sie den Gesamtstrom $I_{\mathrm{ges}}$, der von der Quelle geliefert wird.

d) Berechnen Sie die Leistung, die im gesamten Netzwerk umgesetzt wird.

Lösung

a) Nicht abgeglichen ($R_1\cdot R_4\ne R_2\cdot R_3$)
b) $R_{\mathrm{ges}}\approx 171\Omega$
c) $I_{\mathrm{ges}}\approx 140\mathrm{mA}$
d) $P_{\mathrm{ges}}\approx 3,36\mathrm{W}$

Vollständige Lösung

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Brückenwiderstände: $R_1=100\Omega$, $R_2=200\Omega$, $R_3=150\Omega$, $R_4=250\Omega$
• Brückenwiderstand: $R_5=50\Omega$
• Speisespannung: $U_0=24\mathrm{V}$

Bekannt:

• Abgleichbedingung: $R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$
• Dreieck → Stern: $R_i=\frac{R_{ij}\cdot R_{ik}}{R_{ij}+R_{jk}+R_{ki}}$
• Ohmsches Gesetz: $I=\frac{U}{R}$
• Leistung: $P=\frac{U^2}{R}=U\cdot I$

Dabei ist:

• $R_{\mathrm{ges}}$ der Ersatzwiderstand (Eingangswiderstand) in Ohm ($\Omega$)
• $I_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtstromstärke in Ampere ($\mathrm{A}$)
• $P_{\mathrm{ges}}$ die Gesamtleistung in Watt ($\mathrm{W}$)

Gesucht

a) Abgleichbedingung prüfen
b) Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ mittels Stern-Dreieck-Umwandlung
c) Gesamtstrom $I_{\mathrm{ges}}$
d) Gesamtleistung $P_{\mathrm{ges}}$

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a) Abgleichbedingung prüfen

Die Abgleichbedingung lautet:

$$R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$$

Einsetzen:

$$100\Omega \cdot 250\Omega \ne 200\Omega \cdot 150\Omega$$ $$25000{\Omega }^2\ne 30000{\Omega }^2$$

Die Brücke ist nicht abgeglichen. Durch den Brückenwiderstand $R_5$ fließt ein Strom.

b) Ersatzwiderstand mittels Dreieck-Stern-Umwandlung

Wir führen eine Dreieck-Stern-Umwandlung durch, um den Ersatzwiderstand zu berechnen.

Strategie: Wir wandeln das obere Dreieck (Knoten A-B-C) mit den Widerständen $R_1$, $R_3$ und $R_5$ in einen Stern um.

Schritt 1: Dreieck identifizieren

Das Dreieck besteht aus:

• $R_{AB}=R_1=100\Omega$ (zwischen A und B)
• $R_{AC}=R_3=150\Omega$ (zwischen A und C)
• $R_{BC}=R_5=50\Omega$ (zwischen B und C)

Schritt 2: Summe der Dreieckwiderstände

$$R_{\Sigma }=R_{AB}+R_{AC}+R_{BC}=100\Omega +150\Omega +50\Omega =300\Omega$$

Schritt 3: Sternwiderstände berechnen

Die Umwandlungsformeln lauten:

$$R_A=\frac{R_{AB}\cdot R_{AC}}{R_{\Sigma }}=\frac{100\Omega \cdot 150\Omega }{300\Omega }=\frac{15000{\Omega }^2}{300\Omega }=50\Omega$$ $$R_B=\frac{R_{AB}\cdot R_{BC}}{R_{\Sigma }}=\frac{100\Omega \cdot 50\Omega }{300\Omega }=\frac{5000{\Omega }^2}{300\Omega }=16,67\Omega$$ $$R_C=\frac{R_{AC}\cdot R_{BC}}{R_{\Sigma }}=\frac{150\Omega \cdot 50\Omega }{300\Omega }=\frac{7500{\Omega }^2}{300\Omega }=25\Omega$$

Schritt 4: Neue Schaltung nach der Umwandlung

Schritt 5: Vereinfachung der neuen Schaltung

Linker Zweig (S → B → D):

$$R_{SBD}=R_B+R_2=16,67\Omega +200\Omega =216,67\Omega$$

Rechter Zweig (S → C → D):

$$R_{SCD}=R_C+R_4=25\Omega +250\Omega =275\Omega$$

Diese beiden Zweige liegen parallel:

$$R_{SD}=\frac{R_{SBD}\cdot R_{SCD}}{R_{SBD}+R_{SCD}}=\frac{216,67\Omega \cdot 275\Omega }{216,67\Omega +275\Omega }$$ $$R_{SD}=\frac{59583,25{\Omega }^2}{491,67\Omega }=121,23\Omega$$

Schritt 6: Gesamtwiderstand

Der Gesamtwiderstand ist die Reihenschaltung aus $R_A$ und $R_{SD}$:

$$R_{\mathrm{ges}}=R_A+R_{SD}=50\Omega +121,23\Omega =171,23\Omega$$

Alternative Berechnung

Bei der obigen Rechnung wurde das Dreieck A-B-C betrachtet. Alternativ kann man auch das untere Dreieck B-C-D umwandeln. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Alternative Berechnung mit unterem Dreieck (B-C-D):

Das untere Dreieck besteht aus:

• $R_{BD}=R_2=200\Omega$
• $R_{CD}=R_4=250\Omega$
• $R_{BC}=R_5=50\Omega$

Summe:

$$R_{\Sigma }=200\Omega +250\Omega +50\Omega =500\Omega$$

Sternwiderstände:

$$R_B^{\prime }=\frac{R_{BD}\cdot R_{BC}}{R_{\Sigma }}=\frac{200\Omega \cdot 50\Omega }{500\Omega }=20\Omega$$ $$R_C^{\prime }=\frac{R_{CD}\cdot R_{BC}}{R_{\Sigma }}=\frac{250\Omega \cdot 50\Omega }{500\Omega }=25\Omega$$ $$R_D^{\prime }=\frac{R_{BD}\cdot R_{CD}}{R_{\Sigma }}=\frac{200\Omega \cdot 250\Omega }{500\Omega }=100\Omega$$

Neue Schaltung:

• Linker Zweig (A → B → S’): $R_{AB{S}^{\prime }}=R_1+R_B^{\prime }=100\Omega +20\Omega =120\Omega$
• Rechter Zweig (A → C → S’): $R_{AC{S}^{\prime }}=R_3+R_C^{\prime }=150\Omega +25\Omega =175\Omega$

Parallelschaltung:

$$R_{A{S}^{\prime }}=\frac{120\Omega \cdot 175\Omega }{120\Omega +175\Omega }=\frac{21000{\Omega }^2}{295\Omega }=71,19\Omega$$

Gesamtwiderstand (in Reihe mit $R_D^{\prime }$):

$$R_{\mathrm{ges}}=R_{A{S}^{\prime }}+R_D^{\prime }=71,19\Omega +100\Omega =171,19\Omega$$

Beide Methoden liefern: $R_{\mathrm{ges}}\approx \underline{171\Omega }$

Verifikation

Die beiden Umwandlungswege ergeben nahezu identische Ergebnisse (kleine Abweichungen durch Rundung). Dies bestätigt die Korrektheit der Rechnung.

c) Gesamtstrom

Der Gesamtstrom ergibt sich aus dem Ohmschen Gesetz:

$$I_{\mathrm{ges}}=\frac{U_0}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{24,0\mathrm{V}}{171,2\Omega }\approx \underline{140\mathrm{mA}}$$

d) Gesamtleistung

Die im Netzwerk umgesetzte Leistung:

$$P_{\mathrm{ges}}=\frac{U_0^2}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{(24,0\mathrm{V}{)}^2}{171,2\Omega }=\frac{576{\mathrm{V}}^2}{171,2\Omega }\approx \underline{3,36\mathrm{W}}$$

Kontrolle über $P=U\cdot I$:

$P_{\mathrm{ges}}=U_0\cdot I_{\mathrm{ges}}=24\mathrm{V}\cdot 140,2\mathrm{mA}=24\mathrm{V}\cdot 0,1402\mathrm{A}=3,36\mathrm{W}$ ✔

Methodenvergleich

Die Stern-Dreieck-Umwandlung ist eine elegante Methode zur Berechnung von Brückenschaltungen. Alternativ können auch die Kirchhoffschen Regeln (Maschen- und Knotenregel) oder das Überlagerungsverfahren verwendet werden. Für reine Widerstandsberechnung ist die Stern-Dreieck-Methode oft am schnellsten.