Übung ET1-05.R2 L

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-07)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Die skizzierte Wheatstone-Brücke wird zur Kraftmessung mit einem Dehnmessstreifen (DMS) eingesetzt. Die Brücke hat folgende Widerstände:

• $R_1=120\Omega$ (DMS, im unbelasteten Zustand)
• $R_2=120\Omega$ (Festwiderstand)
• $R_3=120\Omega$ (Festwiderstand)
• $R_4=120\Omega$ (Festwiderstand)

Die Brücke wird mit einer Speisespannung von $U_0=5,0\mathrm{V}$ betrieben.

a) Prüfen Sie, ob die Brücke im unbelasteten Zustand abgeglichen ist.

b) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand (Eingangswiderstand) der unbelasteten Brücke.

c) Bei Belastung dehnt sich der DMS und sein Widerstand ändert sich auf $R_1^{\prime }=120,24\Omega$ (Zunahme um $\Delta R_1=0,24\Omega$). Berechnen Sie die relative Verstimmung $\delta$ der Brückenschaltung.

d) Berechnen Sie die Brückenspannung $U_{\mathrm{Br}}$ bei dieser Verstimmung (Näherungsformel für symmetrische Brücke).

Lösung

a) Ja, Brücke ist abgeglichen ($R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$)
b) $R_{\mathrm{ges}}=120\Omega$
c) $\delta =0,002=0,2\%$
d) $U_{\mathrm{Br}}=2,5\mathrm{mV}$

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Brückenwiderstände (unbelastet): $R_1=R_2=R_3=R_4=120\Omega$
• Speisespannung: $U_0=5,0\mathrm{V}$
• Widerstand nach Belastung: $R_1^{\prime }=120,24\Omega$
• Widerstandsänderung: $\Delta R_1=0,24\Omega$

Bekannt:

• Abgleichbedingung: $R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$
• Ersatzwiderstand symmetrische Brücke: $R_{\mathrm{ges}}=R$ (wenn alle gleich)
• Relative Verstimmung: $\delta =\frac{\Delta R_1}{R_1}$
• Brückenspannung (Näherung): $U_{\mathrm{Br}}=\frac{U_0}{4}\cdot \delta$

Dabei ist:

• $R_{\mathrm{ges}}$ der Ersatzwiderstand (Eingangswiderstand) in Ohm ($\Omega$)
• $\delta$ die relative Verstimmung (dimensionslos)
• $U_{\mathrm{Br}}$ die Brückenspannung in Volt ($\mathrm{V}$)

Gesucht

a) Abgleichbedingung prüfen
b) Ersatzwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$
c) Relative Verstimmung $\delta$
d) Brückenspannung $U_{\mathrm{Br}}$

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a) Abgleichbedingung prüfen

Die Abgleichbedingung lautet:

$$R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$$

Einsetzen der Werte:

$$120\Omega \cdot 120\Omega =120\Omega \cdot 120\Omega$$ $$14400{\Omega }^2=14400{\Omega }^2✓$$

Die Brücke ist abgeglichen. Die Brückenspannung im unbelasteten Zustand beträgt $U_{\mathrm{Br}}=0\mathrm{V}$.

b) Ersatzwiderstand der abgeglichenen Brücke

Bei einer vollständig symmetrischen Brücke ($R_1=R_2=R_3=R_4=R$) vereinfacht sich der Ersatzwiderstand zu:

$$R_{\mathrm{ges}}=R=\underline{120\Omega }$$

Herleitung: Die linke Seite ($R_1+R_2=240\Omega$) liegt parallel zur rechten Seite ($R_3+R_4=240\Omega$):

$R_{\mathrm{ges}}=\frac{(R_1+R_2)\cdot (R_3+R_4)}{(R_1+R_2)+(R_3+R_4)}=\frac{240\Omega \cdot 240\Omega }{240\Omega +240\Omega }=\frac{57600{\Omega }^2}{480\Omega }=120\Omega$ ✔

c) Relative Verstimmung

Die relative Verstimmung ist das Verhältnis der Widerstandsänderung zum ursprünglichen Widerstand:

$$\delta =\frac{\Delta R_1}{R_1}=\frac{0,24\Omega }{120\Omega }=0,002=\underline{0,2\%}$$

Typische Werte

Eine relative Verstimmung von $0,2\%$ ist typisch für DMS-Anwendungen. Dehnmessstreifen arbeiten im Bereich von $0,1\%$ bis $1\%$ Widerstandsänderung. Die Wheatstone-Brücke ist empfindlich genug, um diese kleinen Änderungen zuverlässig zu erfassen.

d) Brückenspannung

Für eine symmetrische Brücke ($R_1=R_2=R_3=R_4$ im Ausgangszustand) gilt die Näherungsformel:

$$U_{\mathrm{Br}}=\frac{U_0}{4}\cdot \delta$$

Einsetzen:

$$U_{\mathrm{Br}}=\frac{5,0\mathrm{V}}{4}\cdot 0,002=1,25\mathrm{V}\cdot 0,002=\underline{2,5\mathrm{mV}}$$

Exakte Berechnung zur Kontrolle:

Die Brückenspannung ergibt sich aus der Differenz der Teilspannungen:

$$U_{\mathrm{Br}}=U_0\cdot \left(\frac{R_2}{R_1^{\prime }+R_2}-\frac{R_4}{R_3+R_4}\right)$$ $$U_{\mathrm{Br}}=5,0\mathrm{V}\cdot \left(\frac{120\Omega }{120,24\Omega +120\Omega }-\frac{120\Omega }{120\Omega +120\Omega }\right)$$ $$U_{\mathrm{Br}}=5,0\mathrm{V}\cdot \left(\frac{120}{240,24}-\frac{120}{240}\right)$$ $$U_{\mathrm{Br}}=5,0\mathrm{V}\cdot (0,49950-0,50000)=5,0\mathrm{V}\cdot (-0,00050)$$ $$U_{\mathrm{Br}}=-2,50\mathrm{mV}$$

Das negative Vorzeichen zeigt die Polarität an (abhängig von der Messrichtung). Der Betrag stimmt mit der Näherung überein. ✔

Praktische Anwendung

In der Praxis wird die Brückenspannung von einem Messverstärker erfasst und in eine Kraft oder Masse umgerechnet. Typische Anwendungen sind Waagen, Kraftsensoren in Prüfmaschinen und Drucksensoren. Die Empfindlichkeit der Brücke kann durch höhere Speisespannung oder durch Verwendung mehrerer aktiver DMS (Halb- oder Vollbrücke) gesteigert werden.