Übung ET2-05.05 – RC-Hochpass als Koppelkondensator (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

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Aufgabe

Im Eingang einer Audio-Verstärkerstufe soll ein RC-Hochpass nach Abschnitt 5 der Lektion eingesetzt werden. Er muss den Gleichspannungsoffset der Vorstufe blockieren, hörbare Frequenzen ($f\ge 30\mathrm{Hz}$) aber nahezu ungedämpft passieren lassen. Der Eingangswiderstand der Folgestufe beträgt $R=4,7\mathrm{k\Omega }$ und übernimmt die Rolle des Hochpass-Widerstands.

Gegeben: $R=4,7\mathrm{k\Omega }$, gewünschte Grenzfrequenz $f_g^{\mathrm{soll}}=30\mathrm{Hz}$

a) Berechnen Sie den theoretisch erforderlichen Kapazitätswert $C^{\mathrm{soll}}$ und wählen Sie die nächst-passende Standardkapazität $C\in \{220\mathrm{nF},470\mathrm{nF},1\mu \mathrm{F},2,2\mu \mathrm{F},4,7\mu \mathrm{F}\}$ so, dass die tatsächliche Grenzfrequenz $f_g$ unterhalb des Sollwerts liegt. Begründen Sie Ihre Wahl in einem Satz und berechnen Sie das daraus resultierende $f_g$.
b) Berechnen Sie für die gewählte Kapazität die Dämpfung in Dezibel und den Phasenwinkel bei $f_1=10\mathrm{Hz}$ (deutlich unter $f_g$) und bei $f_2=1\mathrm{kHz}$ (deutlich über $f_g$).
c) Bei welchen Frequenzen beträgt die Dämpfung $-20\mathrm{dB}$ bzw. $-40\mathrm{dB}$? Geben Sie diese Frequenzen sowohl als Verhältnis zu $f_g$ als auch als absoluten Wert an.
d) Zeigen Sie für eine beliebige Frequenz: Der Tiefpass und der Hochpass mit gleichem $RC$ erfüllen $|F_{\mathrm{TP}}{|}^2+|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=1$. Was bedeutet diese Gleichung physikalisch?

Lösung

a) $C^{\mathrm{soll}}\approx 1,13\mu \mathrm{F}$ → wähle $C=2,2\mu \mathrm{F}$ → $f_g\approx 15,4\mathrm{Hz}$
b) Mit $C=2,2\mu \mathrm{F}$ ($f_g\approx 15,4\mathrm{Hz}$): bei $10\mathrm{Hz}$ → $-5,28\mathrm{dB}$, $\phi \approx +57°$; bei $1\mathrm{kHz}$ → $-0,001\mathrm{dB}$, $\phi \approx +0,88°$
c) $-20\mathrm{dB}$ bei $f\approx f_g/10\approx 1,54\mathrm{Hz}$ (asymptotisch); $-40\mathrm{dB}$ bei $f\approx f_g/100\approx 0,154\mathrm{Hz}$
d) Wegen $|F_{\mathrm{TP}}{|}^2=1/(1+x^2)$ und $|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=x^2/(1+x^2)$ folgt direkt $|F_{\mathrm{TP}}{|}^2+|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=1$. Physikalisch: Tiefpass und Hochpass teilen die Eingangsleistung komplementär auf.

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=4,7\mathrm{k\Omega }=4700\mathrm{\Omega }$
• $f_g^{\mathrm{soll}}=30\mathrm{Hz}$
• Standardkapazitäten: $\{220\mathrm{nF},470\mathrm{nF},1\mu \mathrm{F},2,2\mu \mathrm{F},4,7\mu \mathrm{F}\}$

Bekannt:

• Übertragungsfunktion RC-Hochpass (ET2-05 Abschnitt 5.1): $\underline{F}(j\omega )=j\omega RC/(1+j\omega RC)$
• Grenzfrequenz: $f_g=1/(2\pi RC)$ — identisch zum Tiefpass mit gleichem $RC$
• Amplituden- und Phasengang (ET2-05 Abschnitt 5.2): $|F(f)|=(f/f_g)/\sqrt{1+(f/f_g{)}^2}$, $\phi (f)=90°-\arctan (f/f_g)$
• Dezibel (ET2-05 Abschnitt 6.1): $A_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}|F|$

Gesucht

a) $C^{\mathrm{soll}}$ und gewählte Standardkapazität, daraus tatsächliches $f_g$
b) Dämpfung in dB und Phase bei $10\mathrm{Hz}$ und $1\mathrm{kHz}$
c) Frequenzen mit $-20\mathrm{dB}$ und $-40\mathrm{dB}$ Dämpfung
d) Beweis $|F_{\mathrm{TP}}{|}^2+|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=1$ und physikalische Bedeutung

a) Kapazitätswahl

Aus $f_g=1/(2\pi RC)$ ergibt sich der theoretisch erforderliche Wert:

$$C^{\mathrm{soll}}=\frac{1}{2\pi R{f}_g^{\mathrm{soll}}}=\frac{1}{2\pi \cdot 4700\cdot 30}\mathrm{F}=\frac{1}{886\cdot 10^3}\mathrm{F}\approx \underline{1,13\mu \mathrm{F}}$$

Damit die tatsächliche Grenzfrequenz unterhalb des Sollwerts liegt, muss die Kapazität größer als $C^{\mathrm{soll}}$ sein (kleineres $f_g$ bei größerem $C$). Aus der vorgegebenen Liste ist das nächst-größere Standardelement $C=2,2\mu \mathrm{F}$. Die Wahl $C=1\mu \mathrm{F}$ wäre zwar näher am theoretischen Wert, würde aber $f_g\approx 33,9\mathrm{Hz}$ und damit oberhalb der Soll-Grenzfrequenz ergeben — unzulässig nach Aufgabenstellung.

Mit $C=2,2\mu \mathrm{F}$:

$$f_g=\frac{1}{2\pi \cdot 4700\cdot 2,2\cdot 10^{-6}}\mathrm{Hz}=\frac{1}{0,06497\mathrm{s}}\approx \underline{15,4\mathrm{Hz}}$$

Hörbare Frequenzen ab $30\mathrm{Hz}$ liegen damit klar oberhalb der Grenzfrequenz und werden weitgehend ungedämpft passieren.

b) Dämpfung und Phase bei $10\mathrm{Hz}$ und $1\mathrm{kHz}$

Mit $f_g\approx 15,4\mathrm{Hz}$:

Bei $f_1=10\mathrm{Hz}$ ($x_1=f_1/f_g\approx 0,649$):

$$|F(f_1)|=\frac{0,649}{\sqrt{1+0,649^2}}=\frac{0,649}{\sqrt{1,421}}=\frac{0,649}{1,192}\approx 0,5446$$ $$A_{\mathrm{dB}}=20\cdot {\log }_{10}(0,5446)\approx \underline{-5,28\mathrm{dB}}$$ $$\phi (f_1)=90°-\arctan (0,649)\approx 90°-33,0°=\underline{+57,0°}$$

Bei $f_2=1\mathrm{kHz}$ ($x_2=f_2/f_g\approx 64,9$):

$$|F(f_2)|=\frac{64,9}{\sqrt{1+64,9^2}}\approx \frac{64,9}{64,91}\approx 0,99988$$ $$A_{\mathrm{dB}}\approx 20\cdot {\log }_{10}(0,99988)\approx \underline{-0,001\mathrm{dB}}$$ $$\phi (f_2)=90°-\arctan (64,9)\approx 90°-89,12°=\underline{+0,88°}$$

Die Werte zeigen das gewünschte Verhalten: bei $10\mathrm{Hz}$ deutliche Dämpfung um über $5\mathrm{dB}$ — das schluckt allmählich auch hörbare Tiefen unterhalb des Sollbereichs; bei $1\mathrm{kHz}$ praktisch keine Dämpfung und keine Phasenverschiebung.

c) Frequenzen mit $-20\mathrm{dB}$ und $-40\mathrm{dB}$

Für $f\ll f_g$ wird die Übertragungsfunktion durch ihre Asymptote ersetzt: $|F|\approx f/f_g$. Daraus folgt $|F{|}_{\mathrm{dB}}\approx 20\cdot {\log }_{10}(f/f_g)$ — eine Gerade mit Steigung $+20dB/Dekade$ in halblogarithmischer Auftragung.

Bei $-20\mathrm{dB}$: $|F|=10^{-1}=0,1$, also $f/f_g=0,1$:

$$f\approx \frac{f_g}{10}\approx \underline{1,54\mathrm{Hz}}$$

Bei $-40\mathrm{dB}$: $|F|=10^{-2}=0,01$, also $f/f_g=0,01$:

$$f\approx \frac{f_g}{100}\approx \underline{0,154\mathrm{Hz}}$$

Pro Dekade unterhalb $f_g$ wächst die Dämpfung um $20\mathrm{dB}$ — spiegelbildlich zum Tiefpass-Verhalten oberhalb seiner Grenzfrequenz. Bei $f\to 0$ (Gleichanteil) wird die Dämpfung formal unendlich groß, was die Eingangsanforderung erfüllt: Der Gleichspannungsoffset wird vollständig blockiert.

d) Komplementarität von Tiefpass und Hochpass

Mit $x=\omega RC=f/f_g$ gilt:

$$|F_{\mathrm{TP}}{|}^2=\frac{1}{1+x^2},|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=\frac{x^2}{1+x^2}$$

Die Summe beider:

$$|F_{\mathrm{TP}}{|}^2+|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=\frac{1}{1+x^2}+\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{1+x^2}{1+x^2}=\underline{1}$$

Physikalische Bedeutung: Tiefpass und Hochpass mit gleichem $RC$ greifen die Spannung an den beiden Bauelementen derselben Reihenschaltung ab — der Tiefpass über $C$, der Hochpass über $R$. Da durch beide Bauelemente derselbe Strom $\underline{I}$ fließt, sind die momentanen Spannungsbeträge $|{\underline{U}}_R{|}^2=R^2|\underline{I}{|}^2$ und $|{\underline{U}}_C{|}^2=(1/(\omega C){)}^2|\underline{I}{|}^2$. In Summe ergibt sich nach Pythagoras (weil die Spannungen exakt um $90°$ phasenverschoben sind) der Quadratbetrag der Eingangsspannung: $|{\underline{U}}_E{|}^2=|{\underline{U}}_R{|}^2+|{\underline{U}}_C{|}^2$. Geteilt durch $|{\underline{U}}_E{|}^2$ ist das genau die obige Identität.

Anders ausgedrückt: Was der eine Filter durchlässt, hält der andere zurück — und zwar leistungstreu. Bei der Grenzfrequenz teilen beide Filter die Eingangsspannungs-Energie zu gleichen Teilen: $|F_{\mathrm{TP}}{|}^2=|F_{\mathrm{HP}}{|}^2=1/2$, was beide $-3\mathrm{dB}$-Werte erklärt.

Warum gerade -3 dB? – Die Leistungsdefinition

Die Definition der Grenzfrequenz als Stelle, an der $|F{|}^2$ auf die Hälfte abfällt, ist motiviert durch die Leistung: Bei gleicher Lastimpedanz ist die übertragene Leistung proportional zu $|F{|}^2$. „$-3\mathrm{dB}$” heißt also genau: halbe Leistung. Diese Konvention zieht sich konsistent durch Filter-, Verstärker- und Antennentechnik.

Praxis-Tipp Koppelkondensator

In realen Audio-Schaltungen wird der Koppelkondensator typischerweise als Folien- oder Elektrolyt-Kondensator ausgeführt; bei Elektrolyten ist die Polarität zu beachten (Plus-Pol an der Seite mit höherem Gleichspannungspegel). Eine zu kleine Kapazität führt zu hörbarem Bassverlust, eine zu große ist unkritisch — der Hochpass wird einfach niederfrequenter, das ändert das Klangbild oberhalb $f_g$ nicht.

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