Übung ET2-05.03 – Komplexer Spannungsteiler RL (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2026-05-05)

Bezug zu ET2-05 Berechnung von Wechselstromschaltungen

---

Aufgabe

An einer Reihenschaltung aus einem Widerstand $R$ und einer Spule $L$ liegt eine sinusförmige Wechselspannung ${\underline{U}}_E=U_E\angle 0°$ mit Effektivwert $U_E=5\mathrm{V}$ an. Über $R$ wird die Spannung ${\underline{U}}_R$ abgegriffen, über $L$ die Spannung ${\underline{U}}_L$:

Gegeben: $R=200\mathrm{\Omega }$, $L=100\mathrm{mH}$, $U_E=5\mathrm{V}$

a) Stellen Sie mit dem komplexen Spannungsteiler die Ausdrücke für ${\underline{U}}_R$ und ${\underline{U}}_L$ in geschlossener Form auf.
b) Berechnen Sie für die Frequenz $f_1=100\mathrm{Hz}$ die Beträge $|{\underline{U}}_R|$, $|{\underline{U}}_L|$ und ihre Phasenwinkel relativ zu ${\underline{U}}_E$.
c) Wiederholen Sie die Rechnung für $f_2=1\mathrm{kHz}$.
d) Bei welcher Frequenz $f^{\ast }$ sind die Beträge $|{\underline{U}}_R|$ und $|{\underline{U}}_L|$ exakt gleich groß? Welche Bedeutung hat diese Frequenz?

Lösung

a) ${\underline{U}}_R={\underline{U}}_E\cdot R/(R+j\omega L)$, ${\underline{U}}_L={\underline{U}}_E\cdot j\omega L/(R+j\omega L)$
b) bei $100\mathrm{Hz}$: $|{\underline{U}}_R|\approx 4,77\mathrm{V}(-17,4°)$; $|{\underline{U}}_L|\approx 1,50\mathrm{V}(+72,6°)$
c) bei $1\mathrm{kHz}$: $|{\underline{U}}_R|\approx 1,52\mathrm{V}(-72,3°)$; $|{\underline{U}}_L|\approx 4,76\mathrm{V}(+17,7°)$
d) $f^{\ast }=R/(2\pi L)\approx 318\mathrm{Hz}$ — das ist die Grenzfrequenz des RL-Spannungsteilers; an ihr beträgt jeder Teilbetrag $U_E/\sqrt{2}\approx 3,54\mathrm{V}$.

◀️ zur Aufgabe

---

Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• $R=200\mathrm{\Omega }$
• $L=100\mathrm{mH}=0,1\mathrm{H}$
• $U_E=5\mathrm{V}$ (Effektivwert), $\arg ({\underline{U}}_E)=0°$
• $f_1=100\mathrm{Hz}$, $f_2=1\mathrm{kHz}$

Bekannt:

• Komplexer Spannungsteiler (ET2-05 Abschnitt 2.1): Über der Impedanz ${\underline{Z}}_i$ einer Reihenschaltung gilt ${\underline{U}}_i={\underline{U}}_E\cdot {\underline{Z}}_i/{\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}$
• Impedanzen: ${\underline{Z}}_R=R$, ${\underline{Z}}_L=j\omega L$
• Argument-Rechenregeln: $\arg ({\underline{Z}}_1\cdot {\underline{Z}}_2)=\arg ({\underline{Z}}_1)+\arg ({\underline{Z}}_2)$, $\arg ({\underline{Z}}_1/{\underline{Z}}_2)=\arg ({\underline{Z}}_1)-\arg ({\underline{Z}}_2)$

Gesucht

a) ${\underline{U}}_R$ und ${\underline{U}}_L$ in geschlossener Form
b) $|{\underline{U}}_R|$, $|{\underline{U}}_L|$ und Phasen bei $f_1=100\mathrm{Hz}$
c) Dasselbe bei $f_2=1\mathrm{kHz}$
d) Frequenz $f^{\ast }$ mit $|{\underline{U}}_R|=|{\underline{U}}_L|$ und ihre Bedeutung

a) Spannungsteiler in geschlossener Form

Mit ${\underline{Z}}_{\mathrm{ges}}=R+j\omega L$ folgt direkt aus der Spannungsteilerregel:

$${\underline{U}}_R={\underline{U}}_E\cdot \frac{R}{R+j\omega L}$$ $${\underline{U}}_L={\underline{U}}_E\cdot \frac{j\omega L}{R+j\omega L}$$

Die beiden Ausdrücke unterscheiden sich nur im Zähler. Die Summe ergibt ${\underline{U}}_R+{\underline{U}}_L={\underline{U}}_E$ (Maschenregel) — bei komplexer Addition.

b) Berechnung bei $f_1=100\mathrm{Hz}$

Kreisfrequenz und induktiver Blindwiderstand:

$${\omega }_1=2\pi \cdot 100{\mathrm{s}}^{-1}\approx 628,3{\mathrm{s}}^{-1},{\omega }_{1}L=628,3\cdot 0,1\mathrm{\Omega }\approx 62,83\mathrm{\Omega }$$

Betrag des Nenners:

$$|R+j{\omega }_{1}L|=\sqrt{200^2+62,83^2}\mathrm{\Omega }=\sqrt{40000+3948}\mathrm{\Omega }\approx 209,6\mathrm{\Omega }$$ $$\arg (R+j{\omega }_{1}L)=\arctan \left(\frac{62,83}{200}\right)\approx +17,4°$$

Beträge der Teilspannungen:

$$|{\underline{U}}_R|=U_E\cdot \frac{R}{|R+j{\omega }_{1}L|}=5\mathrm{V}\cdot \frac{200}{209,6}\approx \underline{4,77\mathrm{V}}$$ $$|{\underline{U}}_L|=U_E\cdot \frac{{\omega }_{1}L}{|R+j{\omega }_{1}L|}=5\mathrm{V}\cdot \frac{62,83}{209,6}\approx \underline{1,50\mathrm{V}}$$

Phasen mit den Argument-Regeln auf ${\underline{U}}_R={\underline{U}}_E\cdot R/(R+j\omega L)$ und ${\underline{U}}_L={\underline{U}}_E\cdot j\omega L/(R+j\omega L)$ — Multiplikation addiert die Argumente, Division zieht sie ab — und mit $\arg ({\underline{U}}_E)=0°$, $\arg (R)=0°$, $\arg (j\omega L)=+90°$:

$${\phi }_{U_R}=\arg ({\underline{U}}_E)+\arg (R)-\arg (R+j{\omega }_{1}L)=0°+0°-17,4°=\underline{-17,4°}$$ $${\phi }_{U_L}=\arg ({\underline{U}}_E)+\arg (j{\omega }_{1}L)-\arg (R+j{\omega }_{1}L)=0°+90°-17,4°=\underline{+72,6°}$$

c) Berechnung bei $f_2=1\mathrm{kHz}$

$${\omega }_2=2\pi \cdot 1000{\mathrm{s}}^{-1}\approx 6283{\mathrm{s}}^{-1},{\omega }_{2}L\approx 628,3\mathrm{\Omega }$$ $$|R+j{\omega }_{2}L|=\sqrt{200^2+628,3^2}\mathrm{\Omega }\approx 659,4\mathrm{\Omega },\arg (\dots )=\arctan \left(\frac{628,3}{200}\right)\approx +72,3°$$ $$|{\underline{U}}_R|=5\mathrm{V}\cdot \frac{200}{659,4}\approx \underline{1,52\mathrm{V}},{\phi }_{U_R}=-72,3°\to \underline{-72,3°}$$ $$|{\underline{U}}_L|=5\mathrm{V}\cdot \frac{628,3}{659,4}\approx \underline{4,76\mathrm{V}},{\phi }_{U_L}=90°-72,3°\approx \underline{+17,7°}$$

Plausibilitätscheck — Spannungsdreieck

Die Phasen zwischen ${\underline{U}}_R$ und ${\underline{U}}_L$ unterscheiden sich bei jeder Frequenz um genau $90°$ (Spule und ohmscher Widerstand sind orthogonal). Damit gilt der Pythagoras: $|{\underline{U}}_R{|}^2+|{\underline{U}}_L{|}^2=U_E^2$.
Bei $f_1$: $4,77^2+1,50^2=22,75+2,25=25,0{\mathrm{V}}^2$ ✓
Bei $f_2$: $1,52^2+4,76^2=2,31+22,66=24,97{\mathrm{V}}^2$ ✓

d) Frequenz mit $|{\underline{U}}_R|=|{\underline{U}}_L|$

Aus $|{\underline{U}}_R|=|{\underline{U}}_L|$ folgt mit den Ausdrücken aus a):

$$\frac{R}{|R+j\omega L|}=\frac{\omega L}{|R+j\omega L|}\iff R=\omega L$$ $${\omega }^{\ast }=\frac{R}{L},f^{\ast }=\frac{R}{2\pi L}=\frac{200\mathrm{\Omega }}{2\pi \cdot 0,1\mathrm{H}}\approx \underline{318\mathrm{Hz}}$$

Bei dieser Frequenz beträgt $|R+j\omega L|=\sqrt{R^2+R^2}=R\sqrt{2}$, und damit:

$$|{\underline{U}}_R|=|{\underline{U}}_L|=U_E\cdot \frac{R}{R\sqrt{2}}=\frac{U_E}{\sqrt{2}}\approx \underline{3,54\mathrm{V}}$$

Die Frequenz $f^{\ast }$ ist die Grenzfrequenz dieses RL-Spannungsteilers. Sie hat exakt dieselbe Bedeutung wie die Grenzfrequenz $f_g=1/(2\pi RC)$ beim RC-Tiefpass aus Abschnitt 4: An ihr fällt der Amplitudengang auf $1/\sqrt{2}$ ab — entsprechend $-3\mathrm{dB}$. Greift man die Ausgangsspannung über $R$ ab, erhält man einen RL-Tiefpass; greift man über $L$ ab, einen RL-Hochpass.

Brücke zu Abschnitt 4 und Abschnitt 5: RC und RL sind dual

Tief- und Hochpass-Verhalten lassen sich nicht nur mit RC realisieren, sondern genauso mit RL — die Rolle der Bauelemente vertauscht sich nur:

Filter	RC	RL
Tiefpass — Ausgang über	$C$	$R$
Hochpass — Ausgang über	$R$	$L$
Grenzfrequenz $f_g$	$1/(2\pi RC)$	$R/(2\pi L)$

In der Praxis werden überwiegend RC-Filter eingesetzt, weil Kondensatoren kompakter, billiger und idealer als Spulen sind. Spulen kommen vor allem dort zum Einsatz, wo der ohmsche Widerstand des Drahts ein Problem wäre (z. B. in Lautsprecher-Frequenzweichen, wo gerade der niedrige Gleichstromwiderstand der Spule erwünscht ist).

Status melden

Wie sind Sie mit dieser Übung zurechtgekommen? Geben Sie Ihren Status auf tweedback.de/2317 ab.