Übung ET1-10.03 – Generator (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-01)

Bezug zu ET1-10 Induktion

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Aufgabe

Ein einfacher Wechselstromgenerator besteht aus einer rechteckigen Spule, die sich in einem homogenen Magnetfeld dreht. Die Spule hat folgende Daten:

• Windungszahl: $N=150$
• Abmessungen: $12\mathrm{cm}\times 8,0\mathrm{cm}$
• Magnetische Flussdichte: $B=0,40\mathrm{T}$

Der Generator wird mit einer konstanten Drehzahl von $n=50{\mathrm{s}}^{-1}$ (entspricht $3000\mathrm{mi}{\mathrm{n}}^{-1}$) angetrieben.

a) Berechnen Sie den Scheitelwert $\hat{U}$ der induzierten Spannung!

b) Berechnen Sie den Effektivwert $U_{\mathrm{eff}}$ der induzierten Spannung!

c) Bestimmen Sie die Frequenz $f$ und die Periodendauer $T$ der erzeugten Wechselspannung!

d) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der induzierten Spannung $u(t)$ für zwei vollständige Perioden qualitativ.

e) Zu welchen Zeitpunkten $t$ (innerhalb der ersten Periode) ist die momentane Spannung gleich dem Effektivwert, also $u(t)=U_{\mathrm{eff}}$?

f) Der Generator soll bei gleicher Drehzahl eine um $50\%$ höhere Spannung liefern. Welche Möglichkeiten gibt es, dies zu erreichen?

Lösung

a) $\hat{U}=181\mathrm{V}$
b) $U_{\mathrm{eff}}=128\mathrm{V}$
c) $f=50\mathrm{Hz}$; $T=20\mathrm{ms}$
d) Sinuskurve (siehe Skizze)
e) $t_1=2,5\mathrm{ms}$; $t_2=7,5\mathrm{ms}$
f) Windungszahl, Flussdichte oder Spulenfläche um $50\%$ erhöhen

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Windungszahl: $N=150$
• Spulenabmessungen: $l=12\mathrm{cm}=0,12\mathrm{m}$; $b=8,0\mathrm{cm}=0,080\mathrm{m}$
• Magnetische Flussdichte: $B=0,40\mathrm{T}$
• Drehzahl: $n=50{\mathrm{s}}^{-1}$

Bekannt:

• Spulenfläche: $A=l\cdot b$
• Scheitelwert der Generator-Spannung: $\hat{U}=N\cdot B\cdot A\cdot \omega =N\cdot B\cdot A\cdot 2\pi n$
• Zusammenhang Effektivwert und Scheitelwert (Sinusspannung): $U_{\mathrm{eff}}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$
• Frequenz bei einpoliger Maschine: $f=n$
• Periodendauer: $T=\frac{1}{f}$
• Momentanwert: $u(t)=\hat{U}\sin (\omega t)=\hat{U}\sin (2\pi ft)$

Gesucht

a) Scheitelwert $\hat{U}$ in $\mathrm{V}$
b) Effektivwert $U_{\mathrm{eff}}$ in $\mathrm{V}$
c) Frequenz $f$ in $\mathrm{Hz}$ und Periodendauer $T$ in $\mathrm{ms}$
d) Skizze $u(t)$
e) Zeitpunkte $t$ mit $u(t)=U_{\mathrm{eff}}$ in $\mathrm{ms}$
f) Möglichkeiten zur Spannungserhöhung

a) Scheitelwert der induzierten Spannung

Zunächst die Spulenfläche:

$$A=l\cdot b=0,12\mathrm{m}\cdot 0,080\mathrm{m}=0,0096{\mathrm{m}}^2$$

Die Kreisfrequenz:

$$\omega =2\pi n=2\pi \cdot 50{\mathrm{s}}^{-1}=314,2{\mathrm{s}}^{-1}$$

Der Scheitelwert:

$$\hat{U}=N\cdot B\cdot A\cdot \omega =150\cdot 0,40\mathrm{T}\cdot 0,0096{\mathrm{m}}^2\cdot 314,2{\mathrm{s}}^{-1}=\underline{181\mathrm{V}}$$

b) Effektivwert der induzierten Spannung

Für sinusförmige Wechselspannungen gilt:

$$U_{\mathrm{eff}}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}=\frac{181\mathrm{V}}{\sqrt{2}}=\frac{181\mathrm{V}}{1,414}=\underline{128\mathrm{V}}$$

c) Frequenz und Periodendauer

Bei einem einpoligen Generator (eine Polpaarzahl, $p=1$) entspricht die Frequenz der Drehzahl:

$$f=n=50{\mathrm{s}}^{-1}=\underline{50\mathrm{Hz}}$$

Die Periodendauer:

$$T=\frac{1}{f}=\frac{1}{50\mathrm{Hz}}=0,020\mathrm{s}=\underline{20\mathrm{ms}}$$

Netzfrequenz

Die berechnete Frequenz von $50\mathrm{Hz}$ entspricht der europäischen Netzfrequenz. Dies ist kein Zufall – Kraftwerksgeneratoren sind so ausgelegt, dass sie bei ihrer Nenndrehzahl genau diese Frequenz erzeugen.

d) Skizze des Spannungsverlaufs

Die momentane Spannung folgt einer Sinusfunktion:

$$u(t)=\hat{U}\sin (2\pi ft)=181\mathrm{V}\cdot \sin (2\pi \cdot 50\mathrm{Hz}\cdot t)$$

e) Zeitpunkte mit $u(t)=U_{\mathrm{eff}}$

Wir suchen die Zeitpunkte, an denen gilt:

$$u(t)=U_{\mathrm{eff}}=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$$

Also:

$$\hat{U}\sin (2\pi ft)=\frac{\hat{U}}{\sqrt{2}}$$ $$\sin (2\pi ft)=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Der Sinus hat den Wert $\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$ bei:

$$2\pi f{t}_1=\frac{\pi }{4}\Rightarrow t_1=\frac{1}{8f}=\frac{1}{8\cdot 50\mathrm{Hz}}=\frac{1}{400}\mathrm{s}=\underline{2,5\mathrm{ms}}$$ $$2\pi f{t}_2=\frac{3\pi }{4}\Rightarrow t_2=\frac{3}{8f}=\frac{3}{8\cdot 50\mathrm{Hz}}=\frac{3}{400}\mathrm{s}=\underline{7,5\mathrm{ms}}$$

Kontrolle

Die Zeitpunkte liegen bei $\frac{T}{8}$ und $\frac{3T}{8}$, also bei $\frac{20\mathrm{ms}}{8}=2,5\mathrm{ms}$ und $\frac{3\cdot 20\mathrm{ms}}{8}=7,5\mathrm{ms}$. ✓

f) Möglichkeiten zur Spannungserhöhung

Der Scheitelwert ist gegeben durch:

$$\hat{U}=N\cdot B\cdot A\cdot \omega$$

Bei konstanter Drehzahl ($\omega =const.$) kann die Spannung um $50\%$ erhöht werden durch:

1. Erhöhung der Windungszahl um $50\%$:
   $N_{\mathrm{neu}}=1,5\cdot 150=225$ Windungen

2. Erhöhung der magnetischen Flussdichte um $50\%$:
   $B_{\mathrm{neu}}=1,5\cdot 0,40\mathrm{T}=0,60\mathrm{T}$

3. Erhöhung der Spulenfläche um $50\%$:
   $A_{\mathrm{neu}}=1,5\cdot 0,0096{\mathrm{m}}^2=0,0144{\mathrm{m}}^2$

4. Kombination mehrerer Maßnahmen, sodass das Produkt um den Faktor $1,5$ steigt.

Praktische Einschränkungen

• Mehr Windungen erhöhen den Wicklungswiderstand und die ohm’schen Verluste.
• Höhere Flussdichten erfordern stärkere Magnete oder höhere Erregung.
• Größere Spulenflächen erfordern einen größeren Generator.