Übung ET1-10.01 — Induzierte Spannung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-01)

Bezug zu ET1-10 Induktion

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Aufgabe

Eine zylindrische Spule mit $N=800$ Windungen und einer Querschnittsfläche von $A=25\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ befindet sich in einem homogenen Magnetfeld. Die magnetische Flussdichte ändert sich wie folgt:

• Zeitintervall 1: $B$ steigt linear von $0$ auf $0,60\mathrm{T}$ in $t_1=20\mathrm{ms}$
• Zeitintervall 2: $B$ bleibt konstant bei $0,60\mathrm{T}$ für $t_2=30\mathrm{ms}$
• Zeitintervall 3: $B$ sinkt linear von $0,60\mathrm{T}$ auf $0,20\mathrm{T}$ in $t_3=40\mathrm{ms}$

a) Berechnen Sie die induzierte Spannung $u_{\mathrm{ind}}$ in jedem der drei Zeitintervalle!

b) Skizzieren Sie den zeitlichen Verlauf der magnetischen Flussdichte $B(t)$ und der induzierten Spannung $u_{\mathrm{ind}}(t)$ in einem Diagramm!

c) Welche Flussverkettung $\Lambda$ liegt am Ende von Zeitintervall 1 vor?

d) Wie groß ist die maximale Spannung, die in dieser Anordnung induziert werden kann, wenn die Flussdichte auf $B_{\max }=1,5\mathrm{T}$ begrenzt ist und die schnellste mögliche Änderung $\Delta t_{\min }=5,0\mathrm{ms}$ beträgt?

Lösung

a) Zeitintervall 1: $u_{\mathrm{ind}}=-60\mathrm{V}$; Zeitintervall 2: $u_{\mathrm{ind}}=0\mathrm{V}$; Zeitintervall 3: $u_{\mathrm{ind}}=+20\mathrm{V}$
b) Skizze (siehe unten)
c) $\Lambda =1,2\mathrm{Wb}$
d) $|u_{\mathrm{ind},\max }|=600\mathrm{V}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Windungszahl: $N=800$
• Querschnittsfläche: $A=25\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2=25\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2=2,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$
• Zeitintervall 1: $B_0=0$, $B_1=0,60\mathrm{T}$, $t_1=20\mathrm{ms}=20\cdot 10^{-3}\mathrm{s}$
• Zeitintervall 2: $B=0,60\mathrm{T}$ (konstant), $t_2=30\mathrm{ms}$
• Zeitintervall 3: $B_2=0,60\mathrm{T}$, $B_3=0,20\mathrm{T}$, $t_3=40\mathrm{ms}=40\cdot 10^{-3}\mathrm{s}$
• Für d): $B_{\max }=1,5\mathrm{T}$, $\Delta t_{\min }=5,0\mathrm{ms}$

Bekannt:

• Induktionsgesetz: $u_{\mathrm{ind}}=-N\frac{\mathrm{d}\Phi }{\mathrm{d}t}=-N\cdot A\cdot \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$
• Magnetischer Fluss: $\Phi =B\cdot A$
• Flussverkettung: $\Lambda =N\cdot \Phi$

Gesucht

a) Induzierte Spannung $u_{\mathrm{ind}}$ in den drei Zeitintervallen in $\mathrm{V}$
b) Skizze $B(t)$ und $u_{\mathrm{ind}}(t)$
c) Flussverkettung $\Lambda$ am Ende von Zeitintervall 1 in $\mathrm{Wb}$
d) Maximale induzierte Spannung $|u_{\mathrm{ind},\max }|$ in $\mathrm{V}$

a) Induzierte Spannung in den drei Zeitintervallen

Das Induktionsgesetz für eine Spule mit konstanter Fläche im homogenen Feld lautet:

$$u_{\mathrm{ind}}=-N\cdot A\cdot \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$$

Bei linearer Änderung der Flussdichte gilt $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}=\frac{\Delta B}{\Delta t}$.

Zeitintervall 1 (Anstieg von $0$ auf $0,60\mathrm{T}$):

$$\frac{\Delta B_1}{\Delta t_1}=\frac{0,60\mathrm{T}-0}{20\cdot 10^{-3}\mathrm{s}}=\frac{0,60\mathrm{T}}{0,020\mathrm{s}}=30\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{s}}$$ $$u_{\mathrm{ind},1}=-N\cdot A\cdot \frac{\Delta B_1}{\Delta t_1}=-800\cdot 2,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^2\cdot 30\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{s}}$$ $$u_{\mathrm{ind},1}=-800\cdot 2,5\cdot 10^{-3}\cdot 30\mathrm{V}=\underline{-60\mathrm{V}}$$

Interpretation des Vorzeichens

Das negative Vorzeichen bedeutet: Die induzierte Spannung wirkt dem Anstieg des Flusses entgegen (Lenz’sche Regel). Würde ein Stromkreis geschlossen, würde der resultierende Strom ein Magnetfeld erzeugen, das dem äußeren Feld entgegenwirkt.

Zeitintervall 2 (konstante Flussdichte):

$$\frac{\Delta B_2}{\Delta t_2}=\frac{0,60\mathrm{T}-0,60\mathrm{T}}{30\cdot 10^{-3}\mathrm{s}}=0$$ $$u_{\mathrm{ind},2}=-N\cdot A\cdot 0=\underline{0\mathrm{V}}$$

Keine Flussänderung – keine Induktion

Ohne Änderung des magnetischen Flusses wird keine Spannung induziert. Dies ist eine direkte Konsequenz des Induktionsgesetzes.

Zeitintervall 3 (Abfall von $0,60\mathrm{T}$ auf $0,20\mathrm{T}$):

$$\frac{\Delta B_3}{\Delta t_3}=\frac{0,20\mathrm{T}-0,60\mathrm{T}}{40\cdot 10^{-3}\mathrm{s}}=\frac{-0,40\mathrm{T}}{0,040\mathrm{s}}=-10\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{s}}$$ $$u_{\mathrm{ind},3}=-N\cdot A\cdot \frac{\Delta B_3}{\Delta t_3}=-800\cdot 2,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^2\cdot (-10)\frac{\mathrm{T}}{\mathrm{s}}$$ $$u_{\mathrm{ind},3}=+800\cdot 2,5\cdot 10^{-3}\cdot 10\mathrm{V}=\underline{+20\mathrm{V}}$$

Positives Vorzeichen bei abnehmendem Fluss

Die positive Spannung wirkt dem Abbau des Flusses entgegen – sie würde einen Strom treiben, dessen Magnetfeld den ursprünglichen Fluss aufrechtzuerhalten versucht.

b) Skizze der zeitlichen Verläufe

Oberes Diagramm: Magnetische Flussdichte $B(t)$

Unteres Diagramm: Induzierte Spannung $u_{\mathrm{ind}}(t)$

Zusammenhang erkennen

Die induzierte Spannung ist proportional zur Steigung der $B(t)$-Kurve:

• Steiler Anstieg → große negative Spannung
• Horizontaler Verlauf → keine Spannung
• Flacher Abfall → kleine positive Spannung

Dies ist Ausdruck des differenziellen Verhältnisses beider Größen:

$$u_{\mathrm{ind}}\propto \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$$

c) Flussverkettung am Ende von Zeitintervall 1

Die Flussverkettung ist das Produkt aus Windungszahl und magnetischem Fluss:

$$\Lambda =N\cdot \Phi =N\cdot B\cdot A$$

Am Ende von Zeitintervall 1 beträgt die Flussdichte $B_1=0,60\mathrm{T}$:

$$\Lambda =800\cdot 0,60\mathrm{T}\cdot 2,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$$ $$\Lambda =800\cdot 0,60\cdot 2,5\cdot 10^{-3}\mathrm{Wb}=\underline{1,2\mathrm{Wb}}$$

Einheit der Flussverkettung

Die Flussverkettung hat die gleiche Einheit wie der magnetische Fluss: $[\Lambda ]=\mathrm{Wb}=\mathrm{V}\cdot \mathrm{s}$

d) Maximale induzierte Spannung

Die maximale Spannung tritt bei der schnellsten Flussänderung auf. Bei gegebener maximaler Flussdichte und minimaler Änderungszeit:

$$|u_{\mathrm{ind},\max }|=N\cdot A\cdot \frac{\Delta B_{\max }}{\Delta t_{\min }}$$

Die maximale Flussänderung ist $\Delta B_{\max }=B_{\max }-0=1,5\mathrm{T}$ (von Null auf Maximum oder umgekehrt):

$$|u_{\mathrm{ind},\max }|=800\cdot 2,5\cdot 10^{-3}{\mathrm{m}}^2\cdot \frac{1,5\mathrm{T}}{5,0\cdot 10^{-3}\mathrm{s}}$$ $$|u_{\mathrm{ind},\max }|=800\cdot 2,5\cdot 10^{-3}\cdot 300\mathrm{V}=\underline{600\mathrm{V}}$$

Hohe Spannungen durch schnelle Flussänderungen

Dieses Ergebnis zeigt, warum beim Abschalten von Induktivitäten (z. B. Relais, Motoren) hohe Spannungsspitzen entstehen können. In der Praxis werden Freilaufdioden oder Varistoren zum Schutz empfindlicher elektronischer Bauelemente wie Transistoren und ICs eingesetzt.