Übung ET1-06.01 — Widerstandsnetzwerk mit zwei Spannungsquellen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-02)

Bezug zu ET1-06 Kirchhoffsche Regeln zur Netzwerkanalyse

Aufgabe

Gegeben ist das dargestellte Widerstandsnetzwerk, das durch zwei ideale Gleichspannungsquellen erregt wird.

a)
Wie viele Knoten und Zweige besitzt das Netzwerk insgesamt?
Wie viele Unbekannte liegen damit in dem Netzwerk vor?
Wie viele linear unabhängige Knoten- und Maschengleichungen werden benötigt, um die Unbekannten zu berechnen?

b) Bezeichnen Sie die Knoten. (Hinweis zur besseren Vergleichbarkeit der Lösung: Wählen Sie dazu den Bezugsknoten $K_{0}$ am Minuspol von $U_{q 2}$ und nummerieren Sie die übrigen im Uhrzeigersinn durch.)

c) Zeichnen Sie den Netzwerkgraphen und legen Sie die Zählrichtungen für die Ströme sinnvoll fest.

d) Stellen Sie die linear unabhängigen Knotengleichungen auf.

e) Stellen Sie die Maschengleichung mit dem Verfahren des vollständigen Baumes auf.

f) Stellen Sie die Maschengleichung durch Maschenauftrennung auf.

g) Lösen Sie das Gleichungssystem und geben Sie alle Spannungen und Stromstärken in dem Netzwerk an.

Lösung

a) 6 Zweige, 4 Knoten, 11 Gleichungen für Unbekannte
b) $K_{0}$ bis $K_{3}$
c) Netzwerkgraph
d) 3 Knotengleichungen (können variieren)
e) 3 Maschengleichungen (können variieren)
f) 3 Maschengleichungen (können variieren)
g) $U_{1} = 100 V$ , $U_{2} = - 6, 40 V$ , $U_{3} = 35, 2 V$ , $U_{4} = 58, 4 V$ , $U_{5} = 1, 59 V$
$I_{1} = 1, 00 mA$ , $I_{2} = - 1, 07 mA$ , $I_{3} = 1, 07 mA$ , $I_{4} = 2, 66 mA$ , $I_{5} = 1, 59 mA$

◀️ zur Aufgabe

Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

Spannungsquellen: $U_{q1} = 100 V$ , $U_{q2} = 60 V$ (beide ideal)
Widerstände: $R_{1} = 100 kΩ$ , $R_{2} = 6, 0 kΩ$ , $R_{3} = 33 kΩ$ , $R_{4} = 22 kΩ$ , $R_{5} = 1, 0 kΩ$

Bekannt:

Kirchhoff’sche Regeln (Knoten- und Maschenregel)
Ohmsches Gesetz: $U = R \cdot I$
Methode des vollständigen Baumes
Methode der Maschenauftrennung
Topologischer Zusammenhang: $M = Z - K + 1$

Gesucht

a) Anzahl Knoten $K$ , Zweige $Z$ , Unbekannte, benötigte Gleichungen
b) Knotenbezeichnungen
c) Netzwerkgraph mit Stromrichtungen
d) Linear unabhängige Knotengleichungen
e) Maschengleichungen (vollständiger Baum)
f) Maschengleichungen (Maschenauftrennung)
g) Alle Ströme und Spannungen im Netzwerk

a) Topologische Analyse

Anzahl der Knoten: $K = 4$
Die vier Knoten sind:

Rechter unterer Knoten (zwischen $R_{2}$ , $R_{4}$ und $U_{q 2}$ )
als gemeinsamer Bezugsknoten (Masse)
Linker unterer Knoten (zwischen $U_{q1}$ , $R_{1}$ und $R_{2}$ )
Linker oberer Knoten (zwischen $U_{q1}$ , $R_{1}$ und $R_{3}$ )
Rechter oberer Knoten (zwischen $R_{3}$ , $R_{4}$ und $R_{5}$ )

Anzahl der Zweige: $Z = 6$
Die sechs Zweige sind:

Spannungsquelle $U_{q1}$
Widerstand $R_{1}$
Widerstand $R_{2}$
Widerstand $R_{3}$
Widerstand $R_{4}$
Widerstand $R_{5}$ in Reihe mit $U_{q2}$

Anzahl der Unbekannten:
Allgemein gibt es in einem Netzwerk mit $Z$ Zweigen $2 Z$ Unbekannte (jeweils Strom und Spannung pro Zweig):

2 Z = 2 \cdot 6 = 12 Unbekannte

Da jedoch beide Spannungsquellen ideal sind, ist die Spannung im linken Zweig ( $U_{q1}$ ) bekannt und es gibt nur 11 Unbekannte.

Davon sind:

5 Zweigströme: $I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}, I_{5} = I_{q2}$
5 Spannungen über den Widerständen: $U_{1}, U_{2}, U_{3}, U_{4}, U_{5}$
Stromstärke durch die linke Spannungsquelle $I_{q1}$

Benötigte Gleichungen:
Für 11 Unbekannte werden 11 linear unabhängige Gleichungen benötigt:

Bauelementgleichungen (Ohmsches Gesetz):

Anzahl = 5 (f \overset{u}{¨} r die f \overset{u}{¨} nf Widerst \overset{a}{¨} nde)

Linear unabhängige Knotengleichungen:

K - 1 = 4 - 1 = 3

Linear unabhängige Maschengleichungen:

M = Z - (K - 1) = 6 - 3 = 3

Kontrolle:

5 + 3 + 3 = 11 Gleichungen ✓

b) Knotenbezeichnungen

Die vier Knoten sind:

$K_{0}$ : Rechter unterer Knoten (zwischen $R_{2}$ , $R_{4}$ und $U_{q 2}$ )
als gemeinsamer Bezugsknoten (Masse)
$K_{1}$ : Linker unterer Knoten (zwischen $U_{q1}$ , $R_{1}$ und $R_{2}$ )
$K_{2}$ : Linker oberer Knoten (zwischen $U_{q1}$ , $R_{1}$ und $R_{3}$ )
$K_{3}$ : Rechter oberer Knoten (zwischen $R_{3}$ , $R_{4}$ und $R_{5}$ )

c) Netzwerkgraph mit Stromrichtungen

Festgelegte Stromrichtungen:

$I_{q1}$ : Von $K_{1}$ nach $K_{2}$ (durch $U_{q1}$ )
$I_{1}$ : Von $K_{2}$ nach $K_{1}$ (durch $R_{1}$ )
$I_{2}$ : Von $K_{1}$ nach $K_{0}$ (durch $R_{2}$ )
$I_{3}$ : Von $K_{2}$ nach $K_{3}$ (durch $R_{3}$ )
$I_{4}$ : Von $K_{3}$ nach $K_{0}$ (durch $R_{4}$ )
$I_{5}$ : Von $K_{0}$ nach $K_{3}$ (durch $R_{5}$ und $U_{q2}$ ; $I_{5} = I_{q 2}$ , ab hier: $I_{5}$ )

Hinweis

Die Wahl der Stromrichtungen ist zunächst willkürlich. Negative Ergebniswerte bedeuten lediglich, dass der Strom entgegen der angenommenen Richtung fließt.

d) Linear unabhängige Knotengleichungen

Für die drei Knoten $K_{1}$ , $K_{2}$ und $K_{3}$ (der Bezugsknoten $K_{0}$ liefert keine zusätzliche Information):

Knoten $K_{1}$ :
Ströme, die in den Knoten fließen: $I_{1}$ (positiv)
Ströme, die aus dem Knoten fließen: $I_{q1}$ , $I_{2}$ (negativ)

K_{1} : - I_{q1} + I_{1} - I_{2} = 0

oder äquivalent:

I_{q1} = I_{1} - I_{2}

Knoten $K_{2}$ :
Ströme, die in den Knoten fließen: $I_{q1}$ (positiv)
Ströme, die aus dem Knoten fließen: $I_{1}$ , $I_{3}$ (negativ)

K_{2} : I_{q1} - I_{1} - I_{3} = 0

oder äquivalent:

I_{q1} = I_{1} + I_{3}

Knoten $K_{3}$ :
Ströme, die in den Knoten fließen: $I_{3}$ , $I_{5} = I_{q2}$ (positiv)
Ströme, die aus dem Knoten fließen: $I_{4}$ (negativ)

K_{3} : I_{3} - I_{4} + I_{q2} = 0 \Leftrightarrow I_{q2} = I_{4} - I_{3}

oder äquivalent:

K_{3} : I_{3} - I_{4} + I_{5} = 0

e) Maschengleichungen mit vollständigem Baum

Methode des vollständigen Baumes:

Alle Knoten des Netzwerks so miteinander verbinden, dass keine geschlossene Masche entsteht
Die nicht zum Baum gehörenden Zweige (Verbindungszweige) bilden mit dem Baum jeweils genau eine Masche

Vollständiger Baum:

Knoten verbunden entlang der Zweige:

$K_{1}$ → $K_{2}$ (über $U_{q1}$ )
$K_{2}$ → $K_{3}$ (über $R_{3}$ )
$K_{3}$ → $K_{0}$ (über $R_{5}$ und $U_{q2}$ )

Verbindungszweige (nicht im Baum): $R_{1}$ , $R_{2}$ , $R_{4}$

Masche $M_{1}$ (mit Verbindungszweig über $U_{q1}$ ):

Umlauf: $K_{1}$ → $K_{2}$ (über $- U_{q1}$ ) → zurück nach $K_{1}$ (über $- U_{1}$ )
Masche über $U_{q1}$ und $R_{1}$ :

M_{1} : U_{1} = U_{q1}

Masche $M_{2}$ (mit Verbindungszweig über $R_{4}$ ):

Umlauf: $K_{3}$ → $K_{0}$ (über $U_{4}$ ) → zurück nach $K_{3}$ (über $- U_{q2}$ und $U_{5}$ )
Masche über $U_{4}$ , $U_{q2}$ und $U_{5}$ :

M_{2} : U_{4} + U_{5} = U_{q2}

Masche $M_{3}$ (mit Verbindungszweig über $R_{2}$ ):

Umlauf: $K_{2}$ → $K_{1}$ (über $U_{q1}$ ) → $K_{0}$ (über $U_{2}$ ) → $K_{3}$ (über $- U_{q2}$ und $U_{5}$ ) → $K_{2}$ (über $- U_{3}$ )
Masche über $U_{q1}$ , $U_{2}$ , $- U_{q2}$ , $- U_{3}$ :

M_{3} : U_{2} - U_{3} + U_{5} = - U_{q1} + U_{q2}

Die 3 benötigten Maschengleichungen sind damit erstellt.

f) Maschengleichungen durch Auftrennen der Maschen

Methode der Maschenauftrennung:

Beliebige Masche wählen und Gleichung aufstellen
Diese Masche an einem Zweig auftrennen (diesen in weiteren Maschen nicht mehr verwenden)
Im verbleibenden Netzwerk nächste Masche wählen
Wiederholen bis $M = 3$ Maschengleichungen aufgestellt sind

Masche $M_{1}$ (beliebig gewählt):

Umlauf: $K_{3}$ → $K_{0}$ → $K_{1}$ → $K_{2}$ → $K_{3}$

M_{1} : - U_{1} - U_{2} + U_{3} + U_{4} = 0

Masche $M_{2}$ ( $M_{1}$ aufgetrennt zwischen $K_{1}$ und $K_{2}$ ):

Umlauf: $K_{2}$ → $K_{3}$ → $K_{0}$ → $K_{1}$ → $K_{2}$

M_{2} : - U_{2} + U_{3} + U_{4} = U_{q1}

Masche $M_{3}$ ( $M_{2}$ aufgetrennt zwischen $K_{3}$ und $K_{0}$ ):

Umlauf: $K_{3}$ → $K_{0}$ → $K_{1}$ → $K_{2}$ → $K_{3}$

M_{3} : - U_{2} + U_{3} - U_{5} = U_{q1} - U_{q2}

Die 3 benötigten Maschengleichungen sind damit erstellt.

g) Numerische Berechnung

Gleichungssystem aufstellen:
Aus den Knotengleichungen d), den Maschengleichungen e) oder f) und den Ohm’schen Beziehungen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit 11 Gleichungen und 11 Unbekannten.

Bauelementgleichungen (Ohmsches Gesetz):

U_{1} U_{2} U_{3} U_{4} U_{5} = R_{1} \cdot I_{1} = 100 kΩ \cdot I_{1} = R_{2} \cdot I_{2} = 6, 0 kΩ \cdot I_{2} = R_{3} \cdot I_{3} = 33 kΩ \cdot I_{3} = R_{4} \cdot I_{4} = 22 kΩ \cdot I_{4} = R_{5} \cdot I_{5} = 1, 0 kΩ \cdot I_{5}

Knotengleichungen:

K_{1} : K_{2} : K_{3} : I_{q1} = I_{1} - I_{2} I_{q1} = I_{1} + I_{3} I_{q2} = I_{4} - I_{3}

Maschengleichungen (z.B. aus e):

M_{1} : M_{2} : M_{3} : U_{1} = U_{q1} = 100 V U_{4} + U_{5} = U_{q2} = 60 V U_{2} - U_{3} + U_{5} = - U_{q1} + U_{q2} = - 40 V

Lösung des Gleichungssystems:

Das Gleichungssystem kann mit verschiedenen Methoden gelöst werden:

Manuell durch Gauß-Eliminationsverfahren
Taschenrechner mit Matrixfunktion
Computer-Algebra-System (MATLAB, Python, etc.)

Ergebnisse:

U_{1} U_{2} U_{3} U_{4} U_{5} = 100 V = - 6, 40 V = 35, 2 V = 58, 4 V = 1, 59 V

I_{1} I_{2} I_{3} I_{4} I_{5} = 1, 00 mA = - 1, 07 mA = 1, 07 mA = 2, 66 mA = 1, 59 mA

Interpretation der Ergebnisse

$I_{2} < 0$ : Der Strom durch $R_{2}$ fließt entgegen der angenommenen Richtung, also von $K_{0}$ nach $K_{1}$

$U_{2} < 0$ : Die Spannung über $R_{2}$ ist negativ, konsistent mit der umgekehrten Stromrichtung.

Alle anderen Ströme fließen in den angenommenen Richtungen

Plausibilitätskontrolle

Überprüfung der Knotengleichungen

Knoten $K_{1}$ :

I_{q1} = I_{1} - I_{2} = 1, 00 mA - (- 1, 07 mA) = 2, 07 mA ✓

Knoten $K_{2}$ :

I_{q1} = I_{1} + I_{3} = 1, 00 mA + 1, 07 mA = 2, 07 mA ✓

Knoten $K_{3}$ :

I_{q2} = I_{4} - I_{3} = 2, 66 mA - 1, 07 mA = 1, 59 mA = I_{5} ✓

Alle Knotengleichungen sind erfüllt!

Überprüfung der Maschengleichungen

Masche $M_{1}$ :

U_{1} = 100 V = U_{q1} ✓

Masche $M_{2}$ :

U_{4} + U_{5} = 58, 4 V + 1, 59 V = 59, 99 V \approx 60 V = U_{q2} ✓

(Kleine Abweichung durch Rundungsfehler)

Masche $M_{3}$ :

U_{2} - U_{3} + U_{5} = - 6, 40 V - 35, 2 V + 1, 59 V = - 40, 01 V \approx - 40 V ✓

Alle Maschengleichungen sind erfüllt!

Leistungsbilanz

Abgegebene Leistung der Quellen:

Für die Spannungsquelle $U_{q1}$ :

P_{q1} = U_{q1} \cdot I_{q1} = 100 V \cdot 2, 07 mA = 207 mW

Die Quelle $U_{q1}$ gibt Leistung ab (positiv).

Für die Spannungsquelle $U_{q2}$ :

P_{q2} = U_{q2} \cdot I_{q2} = 60 V \cdot 1, 59 mA = 95, 4 mW

Die Quelle $U_{q2}$ gibt Leistung ab (positiv).

Gesamte abgegebene Quellenleistung:

P_{Quellen} = P_{q1} + P_{q2} = 207 mW + 95, 4 mW = 302, 4 mW

Umgesetzte Leistung in den Widerständen:

P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5} = I_{1}^{2} \cdot R_{1} = (1, 00 mA)^{2} \cdot 100 kΩ = 100 mW = I_{2}^{2} \cdot R_{2} = (1, 07 mA)^{2} \cdot 6, 0 kΩ = 6, 9 mW = I_{3}^{2} \cdot R_{3} = (1, 07 mA)^{2} \cdot 33 kΩ = 37, 8 mW = I_{4}^{2} \cdot R_{4} = (2, 66 mA)^{2} \cdot 22 kΩ = 155, 6 mW = I_{5}^{2} \cdot R_{5} = (1, 59 mA)^{2} \cdot 1, 0 kΩ = 2, 5 mW

Gesamte Verlustleistung in den Widerständen:

P_{Widerst \overset{a}{¨} nde} = 100 + 6, 9 + 37, 8 + 155, 6 + 2, 5 = 302, 8 mW

Bilanz:

P_{Quellen} = 302, 4 mW \approx P_{Widerst \overset{a}{¨} nde} = 302, 8 mW ✓

Die geringe Abweichung von $0, 4 mW$ (ca. $0, 13 %$ ) ist auf Rundungsfehler zurückzuführen. Die Leistungsbilanz ist geschlossen!

Fazit der Plausibilitätskontrolle

Alle Knoten- und Maschengleichungen sind erfüllt und die Leistungsbilanz ist geschlossen. Die Lösung ist korrekt!

Zusammenfassung und Hinweise

Systematisches Vorgehen bei der Netzwerkanalyse

1. Topologische Analyse:

Knoten und Zweige identifizieren und zählen

Anzahl benötigter Gleichungen bestimmen: $(K - 1)$ Knoten-, $(Z - K + 1)$ Maschengleichungen

2. Netzwerk vorbereiten:

Knoten beschriften (Bezugsknoten wählen)

Alle Ströme und Spannungen benennen

Zählrichtungen festlegen (willkürlich, aber konsistent)

3. Gleichungen aufstellen:

Knotengleichungen: Summe aller Ströme am Knoten = 0

Maschengleichungen: Summe aller Spannungen in Masche = 0

Methode 1: Vollständiger Baum (VB)

Methode 2: Maschenauftrennung (MA)

Bauelementgleichungen: Ohmsches Gesetz für alle Widerstände

4. Gleichungssystem lösen:

Manuell (Gauß-Verfahren) oder

Mit Rechenwerkzeugen (Taschenrechner, Computer)

5. Ergebnisse validieren:

Plausibilitätsprüfung (Größenordnungen, Vorzeichen)

Knotengleichungen überprüfen

Maschengleichungen überprüfen

Leistungsbilanz kontrollieren

Häufige Fehlerquellen

Inkonsistente Vorzeichenkonvention

Verwendung nicht-linear-unabhängiger Gleichungen

Vergessen von Bauelementgleichungen

Vergessen gegebener Größen

Vorzeichenfehler bei Maschengleichungen

Rundungsfehler bei manueller Rechnung

Praxistipp

Bei komplexen Netzwerken mit mehr als 3-4 Maschen ist die manuelle Lösung sehr aufwändig. In der Praxis werden dann:

Simulationsprogramme (LTspice, Multisim) oder

Numerische Lösungswerkzeuge (MATLAB, Python/NumPy) eingesetzt.

Diese nutzen im Hintergrund das Knotenpotenzialverfahren, das auf den Kirchhoff’schen Regeln basiert und besonders effizient ist, aber nicht Gegenstand dieses Skriptes.

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Übung ET1-06.01 — Widerstandsnetzwerk mit zwei Spannungsquellen (Lösung)

Aufgabe

Lösung

Gegeben

Gesucht

a) Topologische Analyse

b) Knotenbezeichnungen

c) Netzwerkgraph mit Stromrichtungen

d) Linear unabhängige Knotengleichungen

e) Maschengleichungen mit vollständigem Baum

f) Maschengleichungen durch Auftrennen der Maschen

g) Numerische Berechnung

Plausibilitätskontrolle

Überprüfung der Knotengleichungen

Überprüfung der Maschengleichungen

Leistungsbilanz

Zusammenfassung und Hinweise

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