Übung ET1-05.05 — Eingangswiderstand Brücke (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-01)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Zur Überwachung eines Stahlträgers sind auf dessen Ober- und Unterseite Dehnmessstreifen (DMS) appliziert worden. Die dazugehörige DMS-Messbrücke (Wheatstone-Brücke mit Dehnmessstreifen im Brückenzweig) hat folgende Konfiguration:

• Alle vier Brückenwiderstände: $R_1=R_2=R_3=R_4=350\Omega$ (unbelastet)
• Brückenwiderstand (Messgerät): $R_5=10\mathrm{k\Omega }$
• Versorgungsspannung: $U=5,0\mathrm{V}$

Bei Krafteinwirkung ändert sich $R_3$ auf $R_3^{\prime }=351\Omega$ (Dehnung), während $R_1$ auf $R_1^{\prime }=349\Omega$ abnimmt (Stauchung). $R_2$ und $R_4$ bleiben unverändert.

a) Ist die Brücke im unbelasteten Zustand abgeglichen? Berechnen Sie den Gesamtwiderstand!
b) Wie groß ist der Brückenstrom $I_5$ im unbelasteten Zustand?
c) Berechnen Sie den Ersatzwiderstand der Brücke im belasteten Zustand (mit $R_1^{\prime }=349\Omega$ und $R_3^{\prime }=351\Omega$) mittels Stern-Dreieck-Umwandlung!

Lösung

a) Ja, abgeglichen. $R_{\mathrm{ges}}=350\Omega$
b) $I_5=0\mathrm{A}$ (abgeglichen)
c) $R_{\mathrm{ges}}\approx 350\Omega$ (minimale Änderung)

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Unbelastet: $R_1=R_2=R_3=R_4=350\Omega$
• Belastet: $R_1^{\prime }=349\Omega$, $R_3^{\prime }=351\Omega$, $R_2=R_4=350\Omega$
• Brückenwiderstand: $R_5=10\mathrm{k\Omega }=10000\Omega$
• Versorgungsspannung: $U=5,0\mathrm{V}$

Bekannt:

• Abgleichbedingung: $\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}\iff R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$
• Ersatzwiderstand Parallelschaltung: $R_{a\parallel b}=\frac{R_a\cdot R_b}{R_a+R_b}$
• Stern-Dreieck: $R_Y=\frac{R_{\Delta }}{3}$ (bei Symmetrie)

Gesucht

a) Abgleichprüfung und $R_{\mathrm{ges}}$ (unbelastet) in $\Omega$
b) Brückenstrom $I_5$ (unbelastet) in $\mathrm{A}$
c) $R_{\mathrm{ges}}$ (belastet) in $\Omega$

a) Abgleichprüfung und Gesamtwiderstand (unbelastet)

Aus den gegebenen Daten ist schon erkennbar, dass die Brücke vollständig symmetrisch ist ($R_1=R_2=R_3=R_4$). Daher muss sie abgeglichen sein.

Prüfung der Abgleichbedingung:

$$R_1\cdot R_4=350\Omega \cdot 350\Omega =122500{\Omega }^2$$ $$R_2\cdot R_3=350\Omega \cdot 350\Omega =122500{\Omega }^2$$

Die Brücke ist abgeglichen ($R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$).

Gesamtwiderstand bei abgeglichener Brücke:
Bei Abgleich fließt kein Strom durch $R_5$, dieser kann ignoriert werden. Die Brücke besteht aus zwei parallelen Zweigen:

Linker Zweig: $R_{12}=R_1+R_2=350+350=700\Omega$

Rechter Zweig: $R_{34}=R_3+R_4=350+350=700\Omega$

Gesamtwiderstand (bei identischen parallelen Widerständen):

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_{12}}{2}=\frac{700}{2}=\underline{350\Omega }$$

Weitere Vereinfachung – Gesamtwiderstand bei vollständig symmetrischer Brücke:
mit $R_1=R_2=R_3=R_4=R$

$$R_{\mathrm{ges}}=R=\underline{350\Omega }$$

b) Brückenstrom (unbelastet)

Bei abgeglichener Brücke haben die beiden mittleren Knoten dasselbe Potenzial.
Es fließt kein Strom durch $R_5$:

$$I_5=\underline{0\mathrm{A}}$$

Dies ist das Grundprinzip der abgeglichenen Brücke.

c) Gesamtwiderstand (belastet) mit Stern-Dreieck-Umwandlung

Im belasteten Zustand: $R_1^{\prime }=349\Omega$, $R_2=350\Omega$, $R_3^{\prime }=351\Omega$, $R_4=350\Omega$, $R_5=10000\Omega$

Prüfung:

$$R_1^{\prime }\cdot R_4=349\Omega \cdot 350\Omega =122150{\Omega }^2$$ $$R_2\cdot R_3^{\prime }=350\Omega \cdot 351\Omega =122850{\Omega }^2$$

Die Brücke ist nicht abgeglichen.

Methode: Wir wandeln das untere Dreieck ($R_2$, $R_4$, $R_5$) in einen Stern um.

Schritt 1: Summe der Dreieckwiderstände:

$$R_{\Sigma }=R_2+R_4+R_5=350\Omega +350\Omega +10000\Omega =10700\Omega$$

Schritt 2: Sternwiderstände berechnen:

$$R_A=\frac{R_2\cdot R_5}{R_{\Sigma }}=\frac{350\Omega \cdot 10000\Omega }{10700\Omega }\approx 327\Omega$$ $$R_B=\frac{R_4\cdot R_5}{R_{\Sigma }}=\frac{350\Omega \cdot 10000\Omega }{10700\Omega }\approx 327\Omega$$ $$R_C=\frac{R_2\cdot R_4}{R_{\Sigma }}=\frac{350\Omega \cdot 350\Omega }{10700\Omega }\approx 11,4\Omega$$

Schritt 3: Vereinfachung nach Stern-Umwandlung:

• $R_1^{\prime }$ in Reihe mit $R_A$: $R_{1A}=349+327=676\Omega$
• $R_3^{\prime }$ in Reihe mit $R_B$: $R_{3B}=351+327=678\Omega$
• $R_{1A}$ und $R_{3B}$ parallel:

$$R_{\parallel }=\frac{R_{1A}\cdot R_{3B}}{R_{1A}+R_{3B}}=\frac{676\Omega \cdot 678\Omega }{676\Omega +678\Omega }=\frac{458453{\Omega }^2}{1354\Omega }\approx 339\Omega$$

• $R_{\parallel }$ in Reihe mit $R_C$:

$$R_{\mathrm{ges}}=R_{\parallel }+R_C=338,5+11,4=349,999\Omega \approx 350\Omega$$

Vereinfachung (Näherung):
Bei sehr kleinen Widerstandsänderungen ($\frac{\Delta R}{R}=\frac{\pm 1\Omega }{350\Omega }<0,3\%$) und großem Widerstand im Brückenzweig $R_5=10\mathrm{k\Omega }\gg 350\Omega$) bleibt der Gesamtwiderstand nahezu unverändert:

$$R_{\mathrm{ges}}\approx \underline{350\Omega }$$

DMS-Brücken in der Kraftmesstechnik

Die Verformung führt zu einer geringen Verstimmung der Messbrücke, die durch eine elektronische Schaltung gut ausgewertet und weiterverarbeitet werden kann. Der Eingangswiderstand der Messschaltung ändert sich dabei kaum (um weniger als $0,1\%$). Das ist für die elektrotechnische Stabilität des Gesamtsystems wichtig.

Technische Realisierung:

• Vollbrücke: Alle vier Widerstände sind aktive DMS → maximale Empfindlichkeit
• Kompensation: Gegenüberliegende DMS kompensieren Temperaturdrift
• Brückenverstimmung: Proportional zur mechanischen Spannung/Dehnung
• Hoher Brückenwiderstand: $R_5$ >> Brückenwiderstände → minimale Rückwirkung auf Gesamtwiderstand

Bei einer Vollbrücke mit gegensinniger Änderung (wie hier: R₁ ↓, R₃ ↑) verdoppelt sich die Brückenspannung gegenüber einer Viertelbrücke!

Typische Anwendung: Wägezellen, Kraftsensoren, Drehmomentaufnehmer

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Das Video zeigt einen Anwendungsfall von DMS in einer Personenwaage.