Übung ET1-05.04 — Brücke abgleichen (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-01)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Eine Wheatstone-Brücke zur Widerstandsmessung hat folgende Widerstände:

• $R_1=1,00\mathrm{k\Omega }$ (Festwiderstand)
• $R_2=100\Omega$ (Festwiderstand)
• $R_3=R_x$ (unbekannter Messwiderstand)
• $R_4$ (Abgleichwiderstand, einstellbar von $10\Omega$ bis $10\mathrm{k\Omega }$)
• $R_5=1,00\mathrm{k\Omega }$ (Brückenwiderstand mit Nullinstrument)

Die Brücke wird an eine Spannung $U=12\mathrm{V}$ angeschlossen.

a) Skizzieren Sie die Schaltung! Orientieren Sie sich bei der Anordnung der Widerstände an der Skizze im Skript ET1-05.
b) Bei welchem Wert von $R_4$ ist die Brücke abgeglichen, wenn $R_x=470\Omega$ beträgt?
c) Der Messwiderstand $R_x$ wird durch einen PT100-Temperatursensor ersetzt, der bei $0°C$ einen Widerstand von $100\Omega$ hat. Bei welcher Temperatur ist die Brücke abgeglichen, wenn $R_4=12,0\Omega$ eingestellt ist? (Temperaturkoeffizient PT100: $\alpha =3,85\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$)
d) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand (Eingangswiderstand) der abgeglichenen Brücke aus Aufgabe b)!

Lösung

a) Skizze
b) $R_4=47,0\Omega$
c) $T\approx 51,9°C$
d) $R_{\mathrm{ges}}\approx 352\Omega$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Festwiderstände: $R_1=1,00\mathrm{k\Omega }=1000\Omega$, $R_2=100\Omega$
• Brückenwiderstand: $R_5=1,0\mathrm{k\Omega }=1000\Omega$
• Quellenspannung: $U=12\mathrm{V}$
• Für c): PT100 bei $0°C$: $R_0=100\Omega$, $\alpha =3,85\cdot 10^{-3}{\mathrm{K}}^{-1}$

Bekannt:

• Abgleichbedingung: $\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}$ oder $R_1\cdot R_4=R_2\cdot R_3$
• Temperaturabhängigkeit PT100: $R(T)=R_0(1+\alpha \cdot \Delta T)$
• Ersatzwiderstand abgeglichene Brücke: $R_{\mathrm{ges}}=\frac{(R_1+R_2)(R_3+R_4)}{R_1+R_2+R_3+R_4}$

Gesucht

a) Skizze
b) Abgleichwiderstand $R_4$ in $\Omega$ für $R_x=470\Omega$
c) Temperatur $T$ in $°C$ bei $R_4=12,0\Omega$
d) Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ der abgeglichenen Brücke in $\Omega$

a) Skizze

Darstellung mit Messinstrument im Brückenzweig

Besser: mit Widerstand des Messgerätes

b) Abgleichwiderstand für bekannten Messwiderstand

Aus der Abgleichbedingung:

$$\frac{R_1}{R_2}=\frac{R_3}{R_4}$$

Umstellen nach $R_4$:

$$R_4=R_3\cdot \frac{R_2}{R_1}$$

Einsetzen mit $R_3=R_x=470\Omega$:

$$R_4=470\Omega \cdot \frac{100\Omega }{1000\Omega }=470\Omega \cdot 0,1=\underline{47,0\Omega }$$

Kontrolle:

$$R_1\cdot R_4=1000\Omega \cdot 47\Omega =47000{\Omega }^2$$ $$R_2\cdot R_3=100\Omega \cdot 470\Omega =47000{\Omega }^2✓$$

c) Temperatur bei gegebenem Abgleichwiderstand

Aus der Abgleichbedingung ermitteln wir zunächst den erforderlichen Widerstand $R_3=R_{PT100}$:

$$R_3=R_1\cdot \frac{R_4}{R_2}=1000\Omega \cdot \frac{12,0\Omega }{100\Omega }=120\Omega$$

Mit der Temperaturabhängigkeit des PT100 (Bezug $0°C$):

$$R(T)=R_0(1+\alpha \cdot T)$$ $$120\Omega =100\Omega \cdot (1+3,85\cdot 10^{-3}{K}^{-1}\cdot T)$$

Auflösen nach $T$:

$$\frac{120\Omega }{100\Omega }=1+0,00385K^{-1}\cdot T$$ $$1,20=1+0,00385K^{-1}\cdot T$$ $$0,20=0,00385K^{-1}\cdot T$$ $$T=\frac{0,20}{0,00385K^{-1}}\approx \underline{51,9°C}$$

Kontrolle:

$$R(51,9°C)=100\Omega \cdot (1+0,00385K^{-1}\cdot 51,9°C)=100\Omega \cdot 1,20=120\Omega ✓$$

Einheit der Temperatur

Durch die Bezugstemperatur $T_0=0°C$ lassen sich die Temperaturdifferenzen (in $\mathrm{K}$) direkt als Temperaturen (in $°C$) schreiben.)

d) Gesamtwiderstand der abgeglichenen Brücke

Bei abgeglichener Brücke kann $R_5$ ignoriert werden (kein Strom im Brückenzweig).

Die Brücke besteht dann aus zwei parallelen Zweigen:

Linker Zweig: $R_{12}=R_1+R_2=1000\Omega +100\Omega =1100\Omega$

Rechter Zweig: $R_{34}=R_3+R_4=470\Omega +47\Omega =517\Omega$

Gesamtwiderstand:

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_{12}\cdot R_{34}}{R_{12}+R_{34}}=\frac{1100\Omega \cdot 517\Omega }{1100\Omega +517\Omega }=\frac{568700{\Omega }^2}{1617\Omega }\approx \underline{352\Omega }$$