Übung ET1-05.03 — Stern-Dreieck-Umwandlung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-01)
Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Das skizzierte Widerstandsnetzwerk zeigt eine Dreieckschaltung mit folgenden Widerständen:

• $R_{12}=360\Omega$ (zwischen Knoten 1 und 2)
• $R_{23}=480\Omega$ (zwischen Knoten 2 und 3)
• $R_{31}=600\Omega$ (zwischen Knoten 3 und 1)

a) Wandeln Sie die Dreieckschaltung in eine äquivalente Sternschaltung um!
b) Prüfen Sie das Ergebnis durch Rückrechnung: Wandeln Sie den berechneten Stern wieder in ein Dreieck um!
c) Berechnen Sie den Widerstand zwischen Knoten 1 und 2, wenn Knoten 3 unbeschaltet bleibt (einmal für Dreieck, einmal für Stern)!

Lösung

a) $R_1=150\Omega$, $R_2=120\Omega$, $R_3=200\Omega$
b) Rückrechnung ergibt die ursprünglichen Werte ✓
c) Beide Schaltungen: $270\Omega$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Dreieckwiderstände: $R_{12}=360\Omega$, $R_{23}=480\Omega$, $R_{31}=600\Omega$

Bekannt:

• Dreieck → Stern: $R_i=\frac{R_{ij}\cdot R_{ik}}{R_{ij}+R_{jk}+R_{ki}}$
• Stern → Dreieck: $R_{ij}=\frac{R_i\cdot R_j+R_j\cdot R_k+R_k\cdot R_i}{R_k}$

Gesucht

a) Sternwiderstände $R_1$, $R_2$, $R_3$ in $\Omega$
b) Verifikation durch Rückrechnung
c) Widerstand zwischen Knoten 1 und 2 bei offenem Knoten 3

a) Dreieck → Stern

Schritt 1: Summe aller Dreieckwiderstände berechnen:

$$R_{\Sigma }=R_{12}+R_{23}+R_{31}=360\Omega +480\Omega +600\Omega =1440\Omega$$

Schritt 2: Sternwiderstände berechnen:

$$R_1=\frac{R_{12}\cdot R_{31}}{R_{\Sigma }}=\frac{360\Omega \cdot 600\Omega }{1440\Omega }=\frac{216000}{1440}\Omega =\underline{150\Omega }$$ $$R_2=\frac{R_{12}\cdot R_{23}}{R_{\Sigma }}=\frac{360\Omega \cdot 480\Omega }{1440\Omega }=\frac{172800}{1440}\Omega =\underline{120\Omega }$$ $$R_3=\frac{R_{23}\cdot R_{31}}{R_{\Sigma }}=\frac{480\Omega \cdot 600\Omega }{1440\Omega }=\frac{288000}{1440}\Omega =\underline{200\Omega }$$

b) Verifikation durch Rückrechnung (Stern → Dreieck)

Schritt 1: Summe aller Produktpaare berechnen:

$$S=R_1\cdot R_2+R_2\cdot R_3+R_3\cdot R_1$$ $$S=150\Omega \cdot 120\Omega +120\Omega \cdot 200\Omega +200\Omega \cdot 150\Omega$$ $$S=18000{\Omega }^2+24000{\Omega }^2+30000{\Omega }^2=72000{\Omega }^2$$

Schritt 2: Dreieckwiderstände berechnen:

$$R_{12}=\frac{S}{R_3}=\frac{72000{\Omega }^2}{200\Omega }=360\Omega ✓$$ $$R_{23}=\frac{S}{R_1}=\frac{72000{\Omega }^2}{150\Omega }=480\Omega ✓$$ $$R_{31}=\frac{S}{R_2}=\frac{72000{\Omega }^2}{120\Omega }=600\Omega ✓$$

Die Rückrechnung ergibt exakt die ursprünglichen Dreieckwiderstände.
Die Umwandlung ist korrekt.

c) Widerstand zwischen Knoten 1 und 2 (Knoten 3 unbeschaltet)

Dreieckschaltung:
Bei unbeschaltetem Knoten 3 sind $R_{31}$ und $R_{23}$ in Reihe geschaltet, diese Reihenschaltung liegt parallel zu $R_{12}$.

Welche Wege führen von Konten 1 nach Knoten 2?

• Weg über Knoten 3: $R_{31}+R_{23}=600\Omega +480\Omega =1080\Omega$
• Direkter Weg: $R_{12}=360\Omega$

Die Wege liegen parallel zu einander:

$$R_{ges}=R_{12,\mathrm{Dreieck}}=\frac{R_{12}\cdot (R_{31}+R_{23})}{R_{12}+R_{31}+R_{23}}=\frac{360\Omega \cdot 1080\Omega }{1440\Omega }=\underline{270\Omega }$$

Sternschaltung:

Welche Wege führen von Konten 1 nach Knoten 2?

• Bei unbeschaltetem Knoten 3 sind $R_1$ und $R_2$ in Reihe geschaltet.
• $R_3$ wird nicht von Strom durchflossen, bleibt daher unberücksichtigt.

$$R_{ges}=R_{12,\mathrm{Stern}}=R_1+R_2=150\Omega +120\Omega =\underline{270\Omega }$$

Verifikation:
Beide Schaltungen ergeben denselben Ersatzwiderstand zwischen Knoten 1 und 2 bei unbeschaltetem Knoten 3. $✓$

Ein- und dieselbe Schaltung auf verschiedene Arten modelliert!

Dass beide Schaltungen denselben Ersatzwiderstand haben, ist korrekt und logisch, denn die Stern-Dreieck-Transformation ist ja nur eine Überführung einer Sicht auf eine Schaltung (eines Modells) in ein andere Sicht auf dieselbe Schaltung (ein anderes Modell derselben Schaltung).

Dabei dürfen sich die elektrischen Eigenschaften der Schaltung logischerweise nicht verändern!