Übung ET1-03.01 – Spannungsabfall am Innenwiderstand (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-10-27)

Bezug zu ET1-03 Elektrische Quellen

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Aufgabe

An einer realen Spannungsquelle messen Sie ohne Belastung eine Klemmenspannung von $U_0=10\mathrm{V}$. Nun schließen Sie eine Ohm’sche Last an und stellen fest, dass die Klemmenspannung um $2\%$ einbricht. Sie schauen auf die Last und erkennen die Aufschrift $U_n=20\mathrm{V}$, $P_n=4,0\mathrm{W}$.

a) Berechnen Sie den Widerstandswert der angeschlossenen Last!
b) Ermitteln Sie die Klemmenspannung unter Last!
c) Bestimmen Sie den Wert des Innenwiderstands der Spannungsquelle!
d) Welche Leistung wird an der Last umgesetzt?

Lösung

a) $100\Omega$
b) $9,8\mathrm{V}$
c) $2,0\Omega$
d) $0,96\mathrm{W}$

▶️ Vollständiger Lösungsweg

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Leerlaufspannung der Quelle: $U_0=10\mathrm{V}$
• Spannungseinbruch bei Belastung: $2\%$
• Nenndaten der Last: $U_n=20\mathrm{V}$, $P_n=4,0\mathrm{W}$

Bekannt:

• Lineare Spannungsquelle mit Innenwiderstand: $U=U_0-R_i\cdot I$
• Ohmsches Gesetz: $U=R\cdot I$
• Leistung: $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}$

Gesucht

a) Lastwiderstand $R_L$ in $\Omega$
b) Klemmenspannung unter Last $U_K$ in $\mathrm{V}$
c) Innenwiderstand $R_i$ in $\Omega$
d) Leistung an der Last $P_L$ in $\mathrm{W}$

a) Lastwiderstand

Der Widerstand der Last ergibt sich aus den Nenndaten:

$$R_L=\frac{U_n^2}{P_n}=\frac{(20\mathrm{V}{)}^2}{4,0\mathrm{W}}=\frac{400{\mathrm{V}}^2}{4,0\mathrm{W}}=\underline{100\Omega }$$

b) Klemmenspannung unter Last

Bei einem Spannungseinbruch von $2\%$ beträgt die Klemmenspannung:

$$U_K=U_0\cdot (1-0,02)=10\mathrm{V}\cdot 0,98=\underline{9,8\mathrm{V}}$$

c) Innenwiderstand der Quelle

Der Strom durch die Last bei der Klemmenspannung:

$$I=\frac{U_K}{R_L}=\frac{9,8\mathrm{V}}{100\Omega }=0,098\mathrm{A}$$

Der Spannungsabfall am Innenwiderstand:

$$\Delta U=U_0-U_K=10\mathrm{V}-9,8\mathrm{V}=0,2\mathrm{V}$$

Der Innenwiderstand nach dem Ohmschen Gesetz:

$$R_i=\frac{\Delta U}{I}=\frac{0,2\mathrm{V}}{0,098\mathrm{A}}=2,041\Omega \approx \underline{2,0\Omega }$$

Kontrolle über Spannungsteiler:

$$U_K=U_0\cdot \frac{R_L}{R_L+R_i}=10\mathrm{V}\cdot \frac{100\Omega }{100\Omega +2,04\Omega }=10\mathrm{V}\cdot 0,98=9,8\mathrm{V}$$

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d) Leistung an der Last

Die tatsächliche Leistung an der Last bei der Klemmenspannung:

$$P_L=\frac{U_K^2}{R_L}=\frac{(9,8\mathrm{V}{)}^2}{100\Omega }=\frac{96,04{\mathrm{V}}^2}{100\Omega }=\underline{0,96\mathrm{W}}$$

Alternativ über Strom und Spannung:

$$P_L=U_K\cdot I=9,8\mathrm{V}\cdot 0,098\mathrm{A}=0,96\mathrm{W}$$

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Die Last nimmt $0,96\mathrm{W}$ auf, obwohl sie für $4,0\mathrm{W}$ bei $20\mathrm{V}$ ausgelegt ist.

Innenwiderstand und Leistungsanpassung

Der Innenwiderstand einer realen Quelle begrenzt die abgebbare Leistung. Im vorliegenden Fall mit $R_i=2,0\Omega$ und $R_L=100\Omega$ liegt keine Leistungsanpassung vor (diese wäre bei $R_L=R_i$ gegeben).

Die Last arbeitet weit unter ihrer Nennleistung, da sie nur mit halber Nennspannung betrieben wird. Bei Ohm’schen Lasten sinkt die Leistung quadratisch mit der Spannung: $P\sim U^2$.