Übung ET1-05.01 — Ersatzwiderstand gemischte Schaltung (Lösung)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-11-02)

Bezug zu ET1-05 Ersatzwiderstand

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Aufgabe

Eine Schaltung besteht aus folgenden Widerständen:

• $R_1=220\Omega$ und $R_2=330\Omega$ sind in Reihe geschaltet
• $R_3=470\Omega$ und $R_4=680\Omega$ sind parallel geschaltet
• Die Reihenschaltung ($R_1$, $R_2$) und die Parallelschaltung ($R_3$, $R_4$) sind in Reihe geschaltet
• $R_5=150\Omega$ liegt parallel zur gesamten bisherigen Schaltung

a) Skizzieren Sie die Schaltung!
b) Berechnen Sie den Gesamtwiderstand der Schaltung!
c) Welcher Strom fließt bei einer angelegten Spannung von $U=12,0\mathrm{V}$?
d) Welche Leistung nimmt die Schaltung auf?

Lösung

a) Skizze
b) $127\Omega$
c) $94,5\mathrm{mA}$
d) $1,13\mathrm{W}$

◀️ zur Aufgabe

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Lösung

Gegeben

Explizit gegeben:

• Widerstände: $R_1=220\Omega$, $R_2=330\Omega$, $R_3=470\Omega$, $R_4=680\Omega$, $R_5=150\Omega$
• Spannung: $U=12,0\mathrm{V}$

Bekannt:

• Reihenschaltung: $R_{\mathrm{Reihe}}=\sum R_i$
• Parallelschaltung: $R_{\mathrm{Parallel}}={\left(\sum \frac{1}{R_i}\right)}^{-1}$
• Ohmsches Gesetz: $I=\frac{U}{R}$
• Leistung: $P=U\cdot I=\frac{U^2}{R}$

Gesucht

a) Skizze
b) Gesamtwiderstand $R_{\mathrm{ges}}$ in $\Omega$
c) Gesamtstrom $I$ in $\mathrm{A}$
d) Leistungsaufnahme $P$ in $\mathrm{W}$

a) Skizze

b) Gesamtwiderstand

Schritt 1: Reihenschaltung von $R_1$ und $R_2$:

$$R_{12}=R_1+R_2=220\Omega +330\Omega =550\Omega$$

Schritt 2: Parallelschaltung von $R_3$ und $R_4$:

$$R_{34}=\frac{R_3\cdot R_4}{R_3+R_4}=\frac{470\Omega \cdot 680\Omega }{470\Omega +680\Omega }=\frac{319600}{1150}\Omega \approx 278\Omega$$

Schritt 3: Reihenschaltung von $R_{12}$ und $R_{34}$:

$$R_{1234}=R_{12}+R_{34}=550\Omega +278\Omega =828\Omega$$

Schritt 4: Parallelschaltung von $R_{1234}$ und $R_5$:

$$R_{\mathrm{ges}}=\frac{R_{1234}\cdot R_5}{R_{1234}+R_5}=\frac{828\Omega \cdot 150\Omega }{828\Omega +150\Omega }=\frac{124200}{978}\Omega \approx \underline{127\Omega }$$

c) Gesamtstrom

Nach dem Ohm’schen Gesetz:

$$I=\frac{U}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{12,0\mathrm{V}}{127\Omega }\approx 0,0945\mathrm{A}\approx \underline{94,5\mathrm{mA}}$$

d) Leistungsaufnahme

$$P=U\cdot I=12,0\mathrm{V}\cdot 0,0945\mathrm{A}\approx 1,13\mathrm{W}$$

Alternativ:

$$P=\frac{U^2}{R_{\mathrm{ges}}}=\frac{(12,0\mathrm{V}{)}^2}{127\Omega }=\frac{144}{127}\mathrm{W}\approx \underline{1,13\mathrm{W}}$$

Die Leistung entspricht der Verlustleistung, die in den Widerständen in Wärme umgewandelt wird.

Systematisches Vorgehen bei gemischten Schaltungen

Bei gemischten Schaltungen ist es wichtig, systematisch von den innersten zu den äußeren Strukturen vorzugehen:

1. Identifizieren: Welche Widerstände liegen eindeutig in Reihe oder parallel?
2. Vereinfachen: Schrittweise Ersatzwiderstände berechnen
3. Dokumentieren: Zwischenergebnisse mit Bezeichnungen versehen
4. Verifizieren: Plausibilitätsprüfung der Ergebnisse

Die schrittweise Reduktion hilft auch bei der späteren Berechnung von Teilströmen und Teilspannungen.