Magnetischer Widerstand (magnetic resistance)

Prof. Dr. Thorsten Jungmann (Stand 2025-12-09)

Der magnetische Widerstand (die Reluktanz) beschreibt, wie stark ein Werkstoff/Abschnitt den magnetischen Fluss in einem magnetischen Kreis behindert. Geometrie und Permeabilität bestimmen seinen Wert.

Analogie Magnetkreis/Stromkreis

Die Reluktanz entspricht dem elektrischen Widerstand im Stromkreis.

In den ET-Grundlagen (ET1) nur zur Vollständigkeit

Diese Größe kommt im ET1-Skript nur der Vollständigkeit halber vor, weil sie zu den Bauteilen Spule und Kondensator dazugehört. Berechnungen und das tiefer Verständnis sind Teil der Wechselstromlehre (ET2).

1 Formelzeichen und Einheit

Das Formelzeichen des magnetischen Widerstandes ist $R_{\mathrm{m}}$.
Seine Einheit ist „Ampere pro Weber“ oder „eins durch Henry“:

$$[R_{\mathrm{m}}]=\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}={\mathrm{H}}^{-1}$$

2 Praxis-/Rechenbeispiele

Im homogenen Feld gilt:

$$R_{\mathrm{m}}=\frac{l}{\mu A},\mu ={\mu }_0{\mu }_r$$

Dabei sind:

• $l$ die Weglänge
• $A$ der wirksame Querschnitt senkrecht zum Fluss
• $\mu$ die Permeabilität des Materials mit
  • der magnetischen Feldkonstante ${\mu }_0$ (Permeabilität des Vakuums)
  • der Permeabilitätszahl des Materials ${\mu }_r$

2.1 Kern ohne Luftspalt (homogener Querschnitt)

Gegeben: $l=0,10\mathrm{m}$, $A=1,0\cdot 10^{-4}{\mathrm{m}}^2$, ${\mu }_r=2000$.

Reluktanz:

$$R_{\mathrm{m}}=\frac{l}{{\mu }_0{\mu }_{r}A}\approx \underline{3,98\cdot 10^5\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$$

Zusammenhang:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{\mathrm{m}}},B=\frac{\Phi }{A}$$

Dabei sind:

• $\Phi$ die magnetische Flussdichte
• $\Theta$ die magnetische Durchflutung
• $B$ die magnetische Flussdichte
• $A$ der wirksame Querschnitt senkrecht zum Fluss

Beispiel:

$$\Theta =400\mathrm{A}\Rightarrow \Phi \approx 1,01\mathrm{mWb},B\approx \underline{10,1\mathrm{mT}}$$

2.2 Einfluss eines Luftspalts

Luftspalt $l=1,0\mathrm{mm}$ mit gleichem Querschnitt $A$:
$R_{\mathrm{L}}=\frac{g}{{\mu }_{0}A}\approx \underline{7,96\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}}$

Gesamtreluktanz:

$$R_{\mathrm{m},\Sigma }=R_{\mathrm{Kern}}+R_L\approx 8,36\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$$

Für denselben Fluss wie in 2.1 ($\Phi \approx 1,0\mathrm{mWb}$) benötigt man:

$$\Theta =R_{\mathrm{m},\Sigma }\Phi \approx \underline{8,36\cdot 10^3\mathrm{A}}$$

Mit $N=100$ Windungen: $I=\Theta /N\approx \underline{83,6\mathrm{A}}$.

2.3 Serien- und Parallelschaltung von Reluktanzen

Serienpfade (gleicher Fluss $\Phi$)

$$R_{\mathrm{m},\Sigma }=R_{\mathrm{m},1}+R_{\mathrm{m},2}+\dots$$

Parallele Zweige (gleiche Durchflutung $\Theta$, Flussaufteilung)

$${\Phi }_i=\frac{\Theta }{R_{\mathrm{m},i}},{\Phi }_{\Sigma }=\sum _i{\Phi }_i=\Theta \sum _i\frac{1}{R_{\mathrm{m},i}}\Rightarrow \frac{1}{R_{\mathrm{m},\mathrm{eq}}}=\sum _i\frac{1}{R_{\mathrm{m},i}}$$

2.4 Zielgröße Feldstärke

Mittlere Feldstärke bei homogenem Weg:

$$H\approx \frac{\Theta }{l}$$

Dabei ist:

• $H$ die magnetische Feldstärke

Beispiel: $l=0,10\mathrm{m}$ und $\Theta =100\mathrm{A}:$
$H\approx \underline{1000A/m}$

3 Gängige Größenordnungen

• Weicheisenkern (ohne Luftspalt, ${\mu }_r=10^3\text{...}10^4$): $R_{\mathrm{m}}=10^4\text{...}10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$
• Luftspalt $l=0,5\text{...}2\mathrm{mm}$, $A=10^{-4}{\mathrm{m}}^2$: $R_{\mathrm{L}}=4\cdot 10^6\text{...}1,6\cdot 10^7\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$
• Ergebnis: Der Luftspalt dominiert oft die Gesamtreluktanz.

4 Formulierungsbeispiele

• „Die Reluktanz des Luftspalts beträgt $8\cdot 10^6\frac{\mathrm{A}}{\mathrm{Wb}}$.“
• „Reluktanzen in Reihe addieren sich; der Luftspalt bestimmt die Summe.“
• „Für den gewünschten Fluss gilt $\Theta =R_{\mathrm{m}}\Phi$.“

5 Verwandte Größen und Zusammenhänge

• magnetische Durchflutung:

$$\Theta =\oint \vec{H}\cdot \mathrm{d}\vec{l},\Theta =NI$$

• magnetischer Fluss und Flussdichte:

$$\Phi ={\int }_A\vec{B}\cdot \mathrm{d}\vec{A},\vec{B}=\mu \vec{H}$$

• Analogie Magnetkreis/Stromkreis:

$$\Phi =\frac{\Theta }{R_{\mathrm{m}}}\leftrightarrow I=\frac{U}{R}$$

- Der [[Magnetischer Fluss (magnetic flux)|magnetische Fluss]] $\Phi$ entspricht der [[Stromstärke (current)|elektrischen Stromstärke]] $I$.
- Die [[Magnetische Durchflutung (magnetomotive force)|magnetische Durchflutung]] $\Theta$ entspricht der [[Spannung (voltage)|elektrischen Spannung]] $U$.
- Der [[Reluktanz (reluctance)|magnetische Widerstand]] $R_\mathrm{m}$, a.k.a. Reluktanz, entspricht dem [[Widerstand (resistance)|elektrischen Widerstand]] $R$.

• Flussverkettung und Induktivität (idealer homogener Kreis):

$$\Lambda =N\Phi ,L=\frac{N^2}{R_{\mathrm{m}}}$$

6 Verwandte Bauelemente

• Spule
• Relais und Schütz
• Transformator
• Elektromagnet (Magnetkreis mit Luftspalt)